Analysis Beispiele

$y = \sqrt{x + 3}$ at $x = 1$

Schritt 1

Bestimme den entsprechenden $y$ -Wert zu $x = 1$ .

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Schritt 1.1

Setze $1$ für $x$ ein.

$y = \sqrt{(1) + 3}$

Schritt 1.2

Vereinfache $\sqrt{(1) + 3}$ .

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Schritt 1.2.1

Addiere $1$ und $3$ .

$y = \sqrt{4}$

Schritt 1.2.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \sqrt{2^{2}}$

Schritt 1.2.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$y = 2$

Schritt 2

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 1$ und $y = 2$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x + 3}$ als ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = x + 3$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + 3$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 3]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 3]$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x + 3$ .

$\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 3]$

Schritt 2.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3]$

Schritt 2.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3]$

Schritt 2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3]$

Schritt 2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3]$

Schritt 2.6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3]$

Schritt 2.7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} {(x + 3)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3]$

Schritt 2.7.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x + 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + 3]$

Schritt 2.7.3

Bringe ${(x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 3]$

Schritt 2.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])$

Schritt 2.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [3])$

Schritt 2.10

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0)$

Schritt 2.11

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.11.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Schritt 2.11.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ mit $1$ .

$\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.12

Bestimme die Ableitung bei $x = 1$ .

$\frac{1}{2 {((1) + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.13

Vereinfache.

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Schritt 2.13.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.13.1.1

Addiere $1$ und $3$ .

$\frac{1}{2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.13.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{1}{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.13.1.3

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}}$

Schritt 2.13.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.13.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}}$

Schritt 2.13.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2 \cdot 2^{1}}$

Schritt 2.13.1.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{1}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.13.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1}{4}$

Schritt 3

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 3.1

Benutze die Steigung $\frac{1}{4}$ und einen gegebenen Punkt $(1, 2)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (2) = \frac{1}{4} \cdot (x - (1))$

Schritt 3.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - 2 = \frac{1}{4} \cdot (x - 1)$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache $\frac{1}{4} \cdot (x - 1)$ .

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Schritt 3.3.1.1

Forme um.

$y - 2 = 0 + 0 + \frac{1}{4} \cdot (x - 1)$

Schritt 3.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y - 2 = \frac{1}{4} \cdot (x - 1)$

Schritt 3.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 2 = \frac{1}{4} x + \frac{1}{4} \cdot - 1$

Schritt 3.3.1.4

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $x$ .

$y - 2 = \frac{x}{4} + \frac{1}{4} \cdot - 1$

Schritt 3.3.1.5

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $- 1$ .

$y - 2 = \frac{x}{4} + \frac{- 1}{4}$

Schritt 3.3.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y - 2 = \frac{x}{4} - \frac{1}{4}$

Schritt 3.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.2.1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = \frac{x}{4} - \frac{1}{4} + 2$

Schritt 3.3.2.2

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{x}{4} - \frac{1}{4} + 2 \cdot \frac{4}{4}$

Schritt 3.3.2.3

Kombiniere $2$ und $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{x}{4} - \frac{1}{4} + \frac{2 \cdot 4}{4}$

Schritt 3.3.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{x}{4} + \frac{- 1 + 2 \cdot 4}{4}$

Schritt 3.3.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.2.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$y = \frac{x}{4} + \frac{- 1 + 8}{4}$

Schritt 3.3.2.5.2

Addiere $- 1$ und $8$ .

$y = \frac{x}{4} + \frac{7}{4}$

Schritt 3.3.3

Stelle die Terme um.

$y = \frac{1}{4} x + \frac{7}{4}$

Schritt 4