Analysis Beispiele

$f (x) = \sqrt{x} + \frac{2}{\sqrt{x}}$ ; , $x = 1$

Schritt 1

Bestimme den entsprechenden $y$ -Wert zu $x = 1$ .

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Schritt 1.1

Setze $1$ für $x$ ein.

$y = \sqrt{1} + \frac{2}{\sqrt{1}}$

Schritt 1.2

Vereinfache $\sqrt{1} + \frac{2}{\sqrt{1}}$ .

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Schritt 1.2.1

Entferne die Klammern.

$y = \sqrt{1} + \frac{2}{\sqrt{1}}$

Schritt 1.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.2.1

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$y = 1 + \frac{2}{\sqrt{1}}$

Schritt 1.2.2.2

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$y = 1 + \frac{2}{1}$

Schritt 1.2.2.3

Dividiere $2$ durch $1$ .

$y = 1 + 2$

Schritt 1.2.3

Addiere $1$ und $2$ .

$y = 3$

Schritt 2

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 1$ und $y = 3$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\sqrt{x} + \frac{2}{\sqrt{x}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt{x}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt{x}}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ .

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Schritt 2.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt{x}}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt{x}}]$

Schritt 2.2.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt{x}}]$

Schritt 2.2.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt{x}}]$

Schritt 2.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt{x}}]$

Schritt 2.2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt{x}}]$

Schritt 2.2.6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt{x}}]$

Schritt 2.2.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt{x}}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt{x}}]$ .

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Schritt 2.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 2.3.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 2.3.3

Schreibe $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ als ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ um.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Schritt 2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 2.3.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 2.3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 2.3.4.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 2.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Schritt 2.3.6

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ .

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Schritt 2.3.6.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- x^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Schritt 2.3.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Schritt 2.3.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Schritt 2.3.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Schritt 2.3.7

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Schritt 2.3.8

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Schritt 2.3.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Schritt 2.3.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

Schritt 2.3.10.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

Schritt 2.3.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

Schritt 2.3.12

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- x^{- 1} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Schritt 2.3.13

Kombiniere $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ und $x^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- \frac{x^{- \frac{1}{2}} x^{- 1}}{2})$

Schritt 2.3.14

Multipliziere $x^{- \frac{1}{2}}$ mit $x^{- 1}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.14.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1}}{2})$

Schritt 2.3.14.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{2})$

Schritt 2.3.14.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- \frac{x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{2})$

Schritt 2.3.14.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- \frac{x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}}}{2})$

Schritt 2.3.14.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.14.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- \frac{x^{\frac{- 1 - 2}{2}}}{2})$

Schritt 2.3.14.5.2

Subtrahiere $2$ von $- 1$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- \frac{x^{\frac{- 3}{2}}}{2})$

Schritt 2.3.14.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

Schritt 2.3.15

Bringe $x^{- \frac{3}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Schritt 2.3.16

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - 2 \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.3.17

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{- 2}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.3.18

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{2 \cdot - 1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.3.19

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.19.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{\frac{3}{2}}$ heraus.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (x^{\frac{3}{2}})}$

Schritt 2.3.19.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{2 \cdot - 1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.3.19.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{- 1}{x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.3.20

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.4.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.5

Bestimme die Ableitung bei $x = 1$ .

$\frac{1}{2 {(1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{{(1)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.6

Vereinfache.

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Schritt 2.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.6.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{2 \cdot 1} - \frac{1}{{(1)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.6.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{{(1)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.6.1.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{2} - \frac{1}{1}$

Schritt 2.6.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

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Schritt 2.6.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} - \frac{1}{1}$

Schritt 2.6.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} - 1 \cdot 1$

Schritt 2.6.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} - 1$

Schritt 2.6.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 2.6.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}$

Schritt 2.6.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}$

Schritt 2.6.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.6.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1 - 2}{2}$

Schritt 2.6.5.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{- 1}{2}$

Schritt 2.6.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{2}$

Schritt 3

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 3.1

Benutze die Steigung $- \frac{1}{2}$ und einen gegebenen Punkt $(1, 3)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (3) = - \frac{1}{2} \cdot (x - (1))$

Schritt 3.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - 3 = - \frac{1}{2} \cdot (x - 1)$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache $- \frac{1}{2} \cdot (x - 1)$ .

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Schritt 3.3.1.1

Forme um.

$y - 3 = 0 + 0 - \frac{1}{2} \cdot (x - 1)$

Schritt 3.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y - 3 = - \frac{1}{2} \cdot (x - 1)$

Schritt 3.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 3 = - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \cdot - 1$

Schritt 3.3.1.4

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{2}$ .

$y - 3 = - \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \cdot - 1$

Schritt 3.3.1.5

Multipliziere $- \frac{1}{2} \cdot - 1$ .

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Schritt 3.3.1.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y - 3 = - \frac{x}{2} + 1 (\frac{1}{2})$

Schritt 3.3.1.5.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$y - 3 = - \frac{x}{2} + \frac{1}{2}$

Schritt 3.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.2.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = - \frac{x}{2} + \frac{1}{2} + 3$

Schritt 3.3.2.2

Um $3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{x}{2} + \frac{1}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 3.3.2.3

Kombiniere $3$ und $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{x}{2} + \frac{1}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}$

Schritt 3.3.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = - \frac{x}{2} + \frac{1 + 3 \cdot 2}{2}$

Schritt 3.3.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.2.5.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$y = - \frac{x}{2} + \frac{1 + 6}{2}$

Schritt 3.3.2.5.2

Addiere $1$ und $6$ .

$y = - \frac{x}{2} + \frac{7}{2}$

Schritt 3.3.3

Schreibe in $y = m x + b$ -Form.

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Schritt 3.3.3.1

Stelle die Terme um.

$y = - (\frac{1}{2} x) + \frac{7}{2}$

Schritt 3.3.3.2

Entferne die Klammern.

$y = - \frac{1}{2} x + \frac{7}{2}$

Schritt 4