Analysis Beispiele

$g (x) = \frac{6 x}{x + 5}$ at $(- 3, - 9)$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = - 3$ und $y = - 9$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{6 x}{x + 5}$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 5}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 5}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = x + 5$ .

$6 \frac{(x + 5) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + 5]}{{(x + 5)}^{2}}$

Schritt 1.3

Differenziere.

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Schritt 1.3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$6 \frac{(x + 5) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + 5]}{{(x + 5)}^{2}}$

Schritt 1.3.2

Mutltipliziere $x + 5$ mit $1$ .

$6 \frac{x + 5 - x \frac{d}{d x} [x + 5]}{{(x + 5)}^{2}}$

Schritt 1.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$6 \frac{x + 5 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])}{{(x + 5)}^{2}}$

Schritt 1.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$6 \frac{x + 5 - x (1 + \frac{d}{d x} [5])}{{(x + 5)}^{2}}$

Schritt 1.3.5

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$6 \frac{x + 5 - x (1 + 0)}{{(x + 5)}^{2}}$

Schritt 1.3.6

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.3.6.1

Addiere $1$ und $0$ .

$6 \frac{x + 5 - x \cdot 1}{{(x + 5)}^{2}}$

Schritt 1.3.6.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$6 \frac{x + 5 - x}{{(x + 5)}^{2}}$

Schritt 1.3.6.3

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$6 \frac{0 + 5}{{(x + 5)}^{2}}$

Schritt 1.3.6.4

Addiere $0$ und $5$ .

$6 \frac{5}{{(x + 5)}^{2}}$

Schritt 1.3.6.5

Kombiniere $6$ und $\frac{5}{{(x + 5)}^{2}}$ .

$\frac{6 \cdot 5}{{(x + 5)}^{2}}$

Schritt 1.3.6.6

Mutltipliziere $6$ mit $5$ .

$\frac{30}{{(x + 5)}^{2}}$

Schritt 1.4

Bestimme die Ableitung bei $x = - 3$ .

$\frac{30}{{((- 3) + 5)}^{2}}$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.5.1.1

Addiere $- 3$ und $5$ .

$\frac{30}{2^{2}}$

Schritt 1.5.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{30}{4}$

Schritt 1.5.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $30$ und $4$ .

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Schritt 1.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $30$ heraus.

$\frac{2 (15)}{4}$

Schritt 1.5.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.5.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 \cdot 15}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 15}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.5.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{15}{2}$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $\frac{15}{2}$ und einen gegebenen Punkt $(- 3, - 9)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (- 9) = \frac{15}{2} \cdot (x - (- 3))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y + 9 = \frac{15}{2} \cdot (x + 3)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache $\frac{15}{2} \cdot (x + 3)$ .

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Schritt 2.3.1.1

Forme um.

$y + 9 = 0 + 0 + \frac{15}{2} \cdot (x + 3)$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y + 9 = \frac{15}{2} \cdot (x + 3)$

Schritt 2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y + 9 = \frac{15}{2} x + \frac{15}{2} \cdot 3$

Schritt 2.3.1.4

Kombiniere $\frac{15}{2}$ und $x$ .

$y + 9 = \frac{15 x}{2} + \frac{15}{2} \cdot 3$

Schritt 2.3.1.5

Multipliziere $\frac{15}{2} \cdot 3$ .

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Schritt 2.3.1.5.1

Kombiniere $\frac{15}{2}$ und $3$ .

$y + 9 = \frac{15 x}{2} + \frac{15 \cdot 3}{2}$

Schritt 2.3.1.5.2

Mutltipliziere $15$ mit $3$ .

$y + 9 = \frac{15 x}{2} + \frac{45}{2}$

Schritt 2.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.2.1

Subtrahiere $9$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = \frac{15 x}{2} + \frac{45}{2} - 9$

Schritt 2.3.2.2

Um $- 9$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{15 x}{2} + \frac{45}{2} - 9 \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 2.3.2.3

Kombiniere $- 9$ und $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{15 x}{2} + \frac{45}{2} + \frac{- 9 \cdot 2}{2}$

Schritt 2.3.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{15 x}{2} + \frac{45 - 9 \cdot 2}{2}$

Schritt 2.3.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.2.5.1

Mutltipliziere $- 9$ mit $2$ .

$y = \frac{15 x}{2} + \frac{45 - 18}{2}$

Schritt 2.3.2.5.2

Subtrahiere $18$ von $45$ .

$y = \frac{15 x}{2} + \frac{27}{2}$

Schritt 2.3.3

Stelle die Terme um.

$y = \frac{15}{2} x + \frac{27}{2}$

Schritt 3