Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{1}{6} x^{4}$ at $x = - 1$

Schritt 1

Bestimme den entsprechenden $y$ -Wert zu $x = - 1$ .

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Schritt 1.1

Setze $- 1$ für $x$ ein.

$y = \frac{1}{6} \cdot {(- 1)}^{4}$

Schritt 1.2

Vereinfache $\frac{1}{6} \cdot {(- 1)}^{4}$ .

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Schritt 1.2.1

Potenziere $- 1$ mit $4$ .

$y = \frac{1}{6} \cdot 1$

Schritt 1.2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{6}$ mit $1$ .

$y = \frac{1}{6}$

Schritt 2

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = - 1$ und $y = \frac{1}{6}$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 2.1

Da $\frac{1}{6}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{6} x^{4}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$\frac{1}{6} (4 x^{3})$

Schritt 2.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.3.1

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{6}$ .

$\frac{4}{6} x^{3}$

Schritt 2.3.2

Kombiniere $\frac{4}{6}$ und $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3}}{6}$

Schritt 2.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $6$ .

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Schritt 2.3.3.1

Faktorisiere $2$ aus $4 x^{3}$ heraus.

$\frac{2 (2 x^{3})}{6}$

Schritt 2.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{2 (2 x^{3})}{2 (3)}$

Schritt 2.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (2 x^{3})}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 x^{3}}{3}$

Schritt 2.4

Bestimme die Ableitung bei $x = - 1$ .

$\frac{2 {(- 1)}^{3}}{3}$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{3}$

Schritt 2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{- 2}{3}$

Schritt 2.5.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2}{3}$

Schritt 3

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 3.1

Benutze die Steigung $- \frac{2}{3}$ und einen gegebenen Punkt $(- 1, \frac{1}{6})$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (\frac{1}{6}) = - \frac{2}{3} \cdot (x - (- 1))$

Schritt 3.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - \frac{1}{6} = - \frac{2}{3} \cdot (x + 1)$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache $- \frac{2}{3} \cdot (x + 1)$ .

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Schritt 3.3.1.1

Forme um.

$y - \frac{1}{6} = 0 + 0 - \frac{2}{3} \cdot (x + 1)$

Schritt 3.3.1.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y - \frac{1}{6} = - \frac{2}{3} x - \frac{2}{3} \cdot 1$

Schritt 3.3.1.2.2

Kombiniere $x$ und $\frac{2}{3}$ .

$y - \frac{1}{6} = - \frac{x \cdot 2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1$

Schritt 3.3.1.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$y - \frac{1}{6} = - \frac{x \cdot 2}{3} - \frac{2}{3}$

Schritt 3.3.1.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$y - \frac{1}{6} = - \frac{2 x}{3} - \frac{2}{3}$

Schritt 3.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.2.1

Addiere $\frac{1}{6}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = - \frac{2 x}{3} - \frac{2}{3} + \frac{1}{6}$

Schritt 3.3.2.2

Um $- \frac{2}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{2 x}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{6}$

Schritt 3.3.2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $6$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.3.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{2}{3}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{2 x}{3} - \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{1}{6}$

Schritt 3.3.2.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$y = - \frac{2 x}{3} - \frac{2 \cdot 2}{6} + \frac{1}{6}$

Schritt 3.3.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = - \frac{2 x}{3} + \frac{- 2 \cdot 2 + 1}{6}$

Schritt 3.3.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.2.5.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$y = - \frac{2 x}{3} + \frac{- 4 + 1}{6}$

Schritt 3.3.2.5.2

Addiere $- 4$ und $1$ .

$y = - \frac{2 x}{3} + \frac{- 3}{6}$

Schritt 3.3.2.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.2.6.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 3$ und $6$ .

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Schritt 3.3.2.6.1.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$y = - \frac{2 x}{3} + \frac{3 (- 1)}{6}$

Schritt 3.3.2.6.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.2.6.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$y = - \frac{2 x}{3} + \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 2}$

Schritt 3.3.2.6.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = - \frac{2 x}{3} + \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 2}$

Schritt 3.3.2.6.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = - \frac{2 x}{3} + \frac{- 1}{2}$

Schritt 3.3.2.6.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{2 x}{3} - \frac{1}{2}$

Schritt 3.3.3

Schreibe in $y = m x + b$ -Form.

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Schritt 3.3.3.1

Stelle die Terme um.

$y = - (\frac{2}{3} x) - \frac{1}{2}$

Schritt 3.3.3.2

Entferne die Klammern.

$y = - \frac{2}{3} x - \frac{1}{2}$

Schritt 4