Analysis Beispiele

${(x + 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 37$ , $(- 3, - 3)$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = - 3$ und $y = - 3$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2}) = \frac{d}{d x} (37)$

Schritt 1.2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Schreibe ${(x + 2)}^{2}$ als $(x + 2) (x + 2)$ um.

$\frac{d}{d x} [(x + 2) (x + 2) + {(y - 3)}^{2}]$

Schritt 1.2.2

Multipliziere $(x + 2) (x + 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [x (x + 2) + 2 (x + 2) + {(y - 3)}^{2}]$

Schritt 1.2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2) + {(y - 3)}^{2}]$

Schritt 1.2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2 + {(y - 3)}^{2}]$

Schritt 1.2.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2 + {(y - 3)}^{2}]$

Schritt 1.2.3.1.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2 + {(y - 3)}^{2}]$

Schritt 1.2.3.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 2 x + 4 + {(y - 3)}^{2}]$

Schritt 1.2.3.2

Addiere $2 x$ und $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4 + {(y - 3)}^{2}]$

Schritt 1.2.4

Schreibe ${(y - 3)}^{2}$ als $(y - 3) (y - 3)$ um.

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4 + (y - 3) (y - 3)]$

Schritt 1.2.5

Multipliziere $(y - 3) (y - 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4 + y (y - 3) - 3 (y - 3)]$

Schritt 1.2.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4 + y \cdot y + y \cdot - 3 - 3 (y - 3)]$

Schritt 1.2.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4 + y \cdot y + y \cdot - 3 - 3 y - 3 \cdot - 3]$

Schritt 1.2.6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.2.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.6.1.1

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4 + y^{2} + y \cdot - 3 - 3 y - 3 \cdot - 3]$

Schritt 1.2.6.1.2

Bringe $- 3$ auf die linke Seite von $y$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4 + y^{2} - 3 \cdot y - 3 y - 3 \cdot - 3]$

Schritt 1.2.6.1.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 3$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4 + y^{2} - 3 y - 3 y + 9]$

Schritt 1.2.6.2

Subtrahiere $3 y$ von $- 3 y$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4 + y^{2} - 6 y + 9]$

Schritt 1.2.7

Differenziere.

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Schritt 1.2.7.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 4 x + 4 + y^{2} - 6 y + 9$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 1.2.7.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 1.2.8

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Schritt 1.2.8.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 1.2.8.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 1.2.8.3

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$2 x + 4 + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 1.2.9

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 x + 4 + 0 + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 1.2.10

Berechne $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

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Schritt 1.2.10.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 1.2.10.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$2 x + 4 + 0 + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 1.2.10.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + 4 + 0 + 2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 1.2.10.1.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$2 x + 4 + 0 + 2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 1.2.10.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$2 x + 4 + 0 + 2 y y' + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 1.2.11

Berechne $\frac{d}{d x} [- 6 y]$ .

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Schritt 1.2.11.1

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6 y$ nach $x$ gleich $- 6 \frac{d}{d x} [y]$ .

$2 x + 4 + 0 + 2 y y' - 6 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 1.2.11.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$2 x + 4 + 0 + 2 y y' - 6 y' + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 1.2.12

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 x + 4 + 0 + 2 y y' - 6 y' + 0$

Schritt 1.2.13

Vereinfache.

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Schritt 1.2.13.1

Vereine die Terme

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Schritt 1.2.13.1.1

Addiere $2 x + 4$ und $0$ .

$2 x + 4 + 2 y y' - 6 y' + 0$

Schritt 1.2.13.1.2

Addiere $2 x + 4 + 2 y y' - 6 y'$ und $0$ .

$2 x + 4 + 2 y y' - 6 y'$

Schritt 1.2.13.2

Stelle die Terme um.

$2 y y' + 2 x + 4 - 6 y'$

Schritt 1.3

Da $37$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $37$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 1.4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$2 y y' + 2 x + 4 - 6 y' = 0$

Schritt 1.5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 1.5.1

Bringe alle Terme, die nicht $y'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.5.1.1

Subtrahiere $2 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 y y' + 4 - 6 y' = - 2 x$

Schritt 1.5.1.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 y y' - 6 y' = - 2 x - 4$

Schritt 1.5.2

Faktorisiere $2 y'$ aus $2 y y' - 6 y'$ heraus.

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Schritt 1.5.2.1

Faktorisiere $2 y'$ aus $2 y y'$ heraus.

$2 y' y - 6 y' = - 2 x - 4$

Schritt 1.5.2.2

Faktorisiere $2 y'$ aus $- 6 y'$ heraus.

$2 y' y + 2 y' \cdot - 3 = - 2 x - 4$

Schritt 1.5.2.3

Faktorisiere $2 y'$ aus $2 y' y + 2 y' \cdot - 3$ heraus.

$2 y' (y - 3) = - 2 x - 4$

Schritt 1.5.3

Teile jeden Ausdruck in $2 y' (y - 3) = - 2 x - 4$ durch $2 (y - 3)$ und vereinfache.

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Schritt 1.5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y' (y - 3) = - 2 x - 4$ durch $2 (y - 3)$ .

$\frac{2 y' (y - 3)}{2 (y - 3)} = \frac{- 2 x}{2 (y - 3)} + \frac{- 4}{2 (y - 3)}$

Schritt 1.5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y' (y - 3)}{2 (y - 3)} = \frac{- 2 x}{2 (y - 3)} + \frac{- 4}{2 (y - 3)}$

Schritt 1.5.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' (y - 3)}{y - 3} = \frac{- 2 x}{2 (y - 3)} + \frac{- 4}{2 (y - 3)}$

Schritt 1.5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y - 3$ .

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Schritt 1.5.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (y - 3)}{y - 3} = \frac{- 2 x}{2 (y - 3)} + \frac{- 4}{2 (y - 3)}$

Schritt 1.5.3.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{2 (y - 3)} + \frac{- 4}{2 (y - 3)}$

Schritt 1.5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.5.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 1.5.3.3.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x$ heraus.

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (y - 3)} + \frac{- 4}{2 (y - 3)}$

Schritt 1.5.3.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.5.3.3.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (y - 3)} + \frac{- 4}{2 (y - 3)}$

Schritt 1.5.3.3.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{- x}{y - 3} + \frac{- 4}{2 (y - 3)}$

Schritt 1.5.3.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{x}{y - 3} + \frac{- 4}{2 (y - 3)}$

Schritt 1.5.3.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $2$ .

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Schritt 1.5.3.3.1.3.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$y' = - \frac{x}{y - 3} + \frac{2 \cdot - 2}{2 (y - 3)}$

Schritt 1.5.3.3.1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.5.3.3.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = - \frac{x}{y - 3} + \frac{2 \cdot - 2}{2 (y - 3)}$

Schritt 1.5.3.3.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = - \frac{x}{y - 3} + \frac{- 2}{y - 3}$

Schritt 1.5.3.3.1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{x}{y - 3} - \frac{2}{y - 3}$

Schritt 1.5.3.3.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.5.3.3.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{- x - 2}{y - 3}$

Schritt 1.5.3.3.2.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$y' = \frac{- (x) - 2}{y - 3}$

Schritt 1.5.3.3.2.3

Schreibe $- 2$ als $- 1 (2)$ um.

$y' = \frac{- (x) - 1 (2)}{y - 3}$

Schritt 1.5.3.3.2.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (2)$ heraus.

$y' = \frac{- (x + 2)}{y - 3}$

Schritt 1.5.3.3.2.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.5.3.3.2.5.1

Schreibe $- (x + 2)$ als $- 1 (x + 2)$ um.

$y' = \frac{- 1 (x + 2)}{y - 3}$

Schritt 1.5.3.3.2.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{x + 2}{y - 3}$

Schritt 1.6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x + 2}{y - 3}$

Schritt 1.7

Berechne bei $x = - 3$ und $y = - 3$ .

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Schritt 1.7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 3$ .

$- \frac{(- 3) + 2}{y - 3}$

Schritt 1.7.2

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $y$ durch $- 3$ .

$- \frac{(- 3) + 2}{(- 3) - 3}$

Schritt 1.7.3

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 1.7.3.1

Addiere $- 3$ und $2$ .

$- \frac{- 1}{- 3 - 3}$

Schritt 1.7.3.2

Subtrahiere $3$ von $- 3$ .

$- \frac{- 1}{- 6}$

Schritt 1.7.4

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$- \frac{1}{6}$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $- \frac{1}{6}$ und einen gegebenen Punkt $(- 3, - 3)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (- 3) = - \frac{1}{6} \cdot (x - (- 3))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y + 3 = - \frac{1}{6} \cdot (x + 3)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache $- \frac{1}{6} \cdot (x + 3)$ .

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Schritt 2.3.1.1

Forme um.

$y + 3 = 0 + 0 - \frac{1}{6} \cdot (x + 3)$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y + 3 = - \frac{1}{6} \cdot (x + 3)$

Schritt 2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y + 3 = - \frac{1}{6} x - \frac{1}{6} \cdot 3$

Schritt 2.3.1.4

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{6}$ .

$y + 3 = - \frac{x}{6} - \frac{1}{6} \cdot 3$

Schritt 2.3.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.3.1.5.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{6}$ in den Zähler.

$y + 3 = - \frac{x}{6} + \frac{- 1}{6} \cdot 3$

Schritt 2.3.1.5.2

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$y + 3 = - \frac{x}{6} + \frac{- 1}{3 (2)} \cdot 3$

Schritt 2.3.1.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y + 3 = - \frac{x}{6} + \frac{- 1}{3 \cdot 2} \cdot 3$

Schritt 2.3.1.5.4

Forme den Ausdruck um.

$y + 3 = - \frac{x}{6} + \frac{- 1}{2}$

Schritt 2.3.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y + 3 = - \frac{x}{6} - \frac{1}{2}$

Schritt 2.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.2.1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = - \frac{x}{6} - \frac{1}{2} - 3$

Schritt 2.3.2.2

Um $- 3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{x}{6} - \frac{1}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 2.3.2.3

Kombiniere $- 3$ und $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{x}{6} - \frac{1}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2}$

Schritt 2.3.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = - \frac{x}{6} + \frac{- 1 - 3 \cdot 2}{2}$

Schritt 2.3.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.2.5.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

$y = - \frac{x}{6} + \frac{- 1 - 6}{2}$

Schritt 2.3.2.5.2

Subtrahiere $6$ von $- 1$ .

$y = - \frac{x}{6} + \frac{- 7}{2}$

Schritt 2.3.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{x}{6} - \frac{7}{2}$

Schritt 2.3.3

Schreibe in $y = m x + b$ -Form.

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Schritt 2.3.3.1

Stelle die Terme um.

$y = - (\frac{1}{6} x) - \frac{7}{2}$

Schritt 2.3.3.2

Entferne die Klammern.

$y = - \frac{1}{6} x - \frac{7}{2}$

Schritt 3