Analysis Beispiele

$y^{4} + x^{3} = y^{2} + 12 x$ , tangent at $(0, 1)$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 0$ und $y = 1$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y^{4} + x^{3}) = \frac{d}{d x} (y^{2} + 12 x)$

Schritt 1.2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y^{4} + x^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 1.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [y^{4}]$ .

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Schritt 1.2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{4}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 1.2.2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 1.2.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 1.2.2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$4 y^{3} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 1.2.2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$4 y^{3} y' + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 1.2.3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$4 y^{3} y' + 3 x^{2}$

Schritt 1.2.3.2

Stelle die Terme um.

$3 x^{2} + 4 y^{3} y'$

Schritt 1.3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y^{2} + 12 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]$

Schritt 1.3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

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Schritt 1.3.2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 1.3.2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [12 x]$

Schritt 1.3.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [12 x]$

Schritt 1.3.2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [12 x]$

Schritt 1.3.2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$2 y y' + \frac{d}{d x} [12 x]$

Schritt 1.3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

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Schritt 1.3.3.1

Da $12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $12 x$ nach $x$ gleich $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 y y' + 12 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 y y' + 12 \cdot 1$

Schritt 1.3.3.3

Mutltipliziere $12$ mit $1$ .

$2 y y' + 12$

Schritt 1.4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$3 x^{2} + 4 y^{3} y' = 2 y y' + 12$

Schritt 1.5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 1.5.1

Subtrahiere $2 y y'$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x^{2} + 4 y^{3} y' - 2 y y' = 12$

Schritt 1.5.2

Subtrahiere $3 x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 y^{3} y' - 2 y y' = 12 - 3 x^{2}$

Schritt 1.5.3

Faktorisiere $2 y y'$ aus $4 y^{3} y' - 2 y y'$ heraus.

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Schritt 1.5.3.1

Faktorisiere $2 y y'$ aus $4 y^{3} y'$ heraus.

$2 y y' (2 y^{2}) - 2 y y' = 12 - 3 x^{2}$

Schritt 1.5.3.2

Faktorisiere $2 y y'$ aus $- 2 y y'$ heraus.

$2 y y' (2 y^{2}) + 2 y y' \cdot - 1 = 12 - 3 x^{2}$

Schritt 1.5.3.3

Faktorisiere $2 y y'$ aus $2 y y' (2 y^{2}) + 2 y y' \cdot - 1$ heraus.

$2 y y' (2 y^{2} - 1) = 12 - 3 x^{2}$

Schritt 1.5.4

Teile jeden Ausdruck in $2 y y' (2 y^{2} - 1) = 12 - 3 x^{2}$ durch $2 y (2 y^{2} - 1)$ und vereinfache.

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Schritt 1.5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y y' (2 y^{2} - 1) = 12 - 3 x^{2}$ durch $2 y (2 y^{2} - 1)$ .

$\frac{2 y y' (2 y^{2} - 1)}{2 y (2 y^{2} - 1)} = \frac{12}{2 y (2 y^{2} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

Schritt 1.5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y y' (2 y^{2} - 1)}{2 y (2 y^{2} - 1)} = \frac{12}{2 y (2 y^{2} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

Schritt 1.5.4.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y y' (2 y^{2} - 1)}{y (2 y^{2} - 1)} = \frac{12}{2 y (2 y^{2} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

Schritt 1.5.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.5.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y y' (2 y^{2} - 1)}{y (2 y^{2} - 1)} = \frac{12}{2 y (2 y^{2} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

Schritt 1.5.4.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' (2 y^{2} - 1)}{2 y^{2} - 1} = \frac{12}{2 y (2 y^{2} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

Schritt 1.5.4.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 y^{2} - 1$ .

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Schritt 1.5.4.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (2 y^{2} - 1)}{2 y^{2} - 1} = \frac{12}{2 y (2 y^{2} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

Schritt 1.5.4.2.3.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{12}{2 y (2 y^{2} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

Schritt 1.5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.5.4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.4.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $12$ und $2$ .

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Schritt 1.5.4.3.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $12$ heraus.

$y' = \frac{2 \cdot 6}{2 y (2 y^{2} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

Schritt 1.5.4.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.5.4.3.1.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 y (2 y^{2} - 1)$ heraus.

$y' = \frac{2 \cdot 6}{2 (y (2 y^{2} - 1))} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

Schritt 1.5.4.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{2 \cdot 6}{2 (y (2 y^{2} - 1))} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

Schritt 1.5.4.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{6}{y (2 y^{2} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

Schritt 1.5.4.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = \frac{6}{y (2 y^{2} - 1)} - \frac{3 x^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

Schritt 1.6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{6}{y (2 y^{2} - 1)} - \frac{3 x^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

Schritt 1.7

Berechne bei $x = 0$ und $y = 1$ .

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Schritt 1.7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$\frac{6}{y (2 y^{2} - 1)} - \frac{3 {(0)}^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

Schritt 1.7.2

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $y$ durch $1$ .

$\frac{6}{(1) (2 {(1)}^{2} - 1)} - \frac{3 {(0)}^{2}}{2 (1) (2 {(1)}^{2} - 1)}$

Schritt 1.7.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.7.3.1

Mutltipliziere $2 \cdot 1^{2} - 1$ mit $1$ .

$\frac{6}{2 \cdot 1^{2} - 1} - \frac{3 {(0)}^{2}}{2 (1) (2 {(1)}^{2} - 1)}$

Schritt 1.7.3.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.7.3.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{6}{2 \cdot 1 - 1} - \frac{3 {(0)}^{2}}{2 (1) (2 {(1)}^{2} - 1)}$

Schritt 1.7.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{6}{2 - 1} - \frac{3 {(0)}^{2}}{2 (1) (2 {(1)}^{2} - 1)}$

Schritt 1.7.3.2.3

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$\frac{6}{1} - \frac{3 {(0)}^{2}}{2 (1) (2 {(1)}^{2} - 1)}$

Schritt 1.7.3.3

Dividiere $6$ durch $1$ .

$6 - \frac{3 {(0)}^{2}}{2 (1) (2 {(1)}^{2} - 1)}$

Schritt 1.7.3.4

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$6 - \frac{3 \cdot 0}{2 (1) (2 \cdot 1^{2} - 1)}$

Schritt 1.7.3.5

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$6 - \frac{3 \cdot 0}{2 (2 \cdot 1^{2} - 1)}$

Schritt 1.7.3.6

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$6 - \frac{0}{2 (2 \cdot 1^{2} - 1)}$

Schritt 1.7.3.7

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.7.3.7.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$6 - \frac{0}{2 (2 \cdot 1 - 1)}$

Schritt 1.7.3.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$6 - \frac{0}{2 (2 - 1)}$

Schritt 1.7.3.7.3

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$6 - \frac{0}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.7.3.8

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$6 - \frac{0}{2}$

Schritt 1.7.3.9

Dividiere $0$ durch $2$ .

$6 - 0$

Schritt 1.7.3.10

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$6 + 0$

Schritt 1.7.4

Addiere $6$ und $0$ .

$6$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $6$ und einen gegebenen Punkt $(0, 1)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (1) = 6 \cdot (x - (0))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - 1 = 6 \cdot (x + 0)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Addiere $x$ und $0$ .

$y - 1 = 6 x$

Schritt 2.3.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = 6 x + 1$

Schritt 3