Analysis Beispiele

$y^{2} = x^{3} - 4 x + 1$ at $(- 2, 1)$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = - 2$ und $y = 1$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y^{2}) = \frac{d}{d x} (x^{3} - 4 x + 1)$

Schritt 1.2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 1.2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 1.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 1.2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 1.2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$2 y y'$

Schritt 1.3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.3.1

Differenziere.

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Schritt 1.3.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} - 4 x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Schritt 1.3.2.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 x^{2} - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.3.2.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$3 x^{2} - 4 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.3.3.1

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 x^{2} - 4 + 0$

Schritt 1.3.3.2

Addiere $3 x^{2} - 4$ und $0$ .

$3 x^{2} - 4$

Schritt 1.4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$2 y y' = 3 x^{2} - 4$

Schritt 1.5

Teile jeden Ausdruck in $2 y y' = 3 x^{2} - 4$ durch $2 y$ und vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y y' = 3 x^{2} - 4$ durch $2 y$ .

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{- 4}{2 y}$

Schritt 1.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{- 4}{2 y}$

Schritt 1.5.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y y'}{y} = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{- 4}{2 y}$

Schritt 1.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y y'}{y} = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{- 4}{2 y}$

Schritt 1.5.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{- 4}{2 y}$

Schritt 1.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $2$ .

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Schritt 1.5.3.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{2 \cdot - 2}{2 y}$

Schritt 1.5.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.5.3.1.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 y$ heraus.

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{2 \cdot - 2}{2 (y)}$

Schritt 1.5.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{2 \cdot - 2}{2 y}$

Schritt 1.5.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{- 2}{y}$

Schritt 1.5.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y} - \frac{2}{y}$

Schritt 1.6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2}}{2 y} - \frac{2}{y}$

Schritt 1.7

Berechne bei $x = - 2$ und $y = 1$ .

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Schritt 1.7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$\frac{3 {(- 2)}^{2}}{2 y} - \frac{2}{y}$

Schritt 1.7.2

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $y$ durch $1$ .

$\frac{3 {(- 2)}^{2}}{2 (1)} - \frac{2}{1}$

Schritt 1.7.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.7.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(- 2)}^{2}$ und $2$ .

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Schritt 1.7.3.1.1

Schreibe $- 2$ als $- 1 (2)$ um.

$\frac{3 {(- 1 (2))}^{2}}{2 (1)} - \frac{2}{1}$

Schritt 1.7.3.1.2

Wende die Produktregel auf $- 1 (2)$ an.

$\frac{3 ({(- 1)}^{2} \cdot 2^{2})}{2 (1)} - \frac{2}{1}$

Schritt 1.7.3.1.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{3 (1 \cdot 2^{2})}{2 (1)} - \frac{2}{1}$

Schritt 1.7.3.1.4

Mutltipliziere $2^{2}$ mit $1$ .

$\frac{3 \cdot 2^{2}}{2 (1)} - \frac{2}{1}$

Schritt 1.7.3.1.5

Faktorisiere $2$ aus $3 \cdot 2^{2}$ heraus.

$\frac{2 (3 \cdot 2)}{2 (1)} - \frac{2}{1}$

Schritt 1.7.3.1.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.7.3.1.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (3 \cdot 2)}{2 \cdot 1} - \frac{2}{1}$

Schritt 1.7.3.1.6.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 \cdot 2}{1} - \frac{2}{1}$

Schritt 1.7.3.1.6.3

Dividiere $3 \cdot 2$ durch $1$ .

$3 \cdot 2 - \frac{2}{1}$

Schritt 1.7.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$6 - \frac{2}{1}$

Schritt 1.7.3.3

Dividiere $2$ durch $1$ .

$6 - 1 \cdot 2$

Schritt 1.7.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$6 - 2$

Schritt 1.7.4

Subtrahiere $2$ von $6$ .

$4$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $4$ und einen gegebenen Punkt $(- 2, 1)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (1) = 4 \cdot (x - (- 2))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - 1 = 4 \cdot (x + 2)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache $4 \cdot (x + 2)$ .

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Schritt 2.3.1.1

Forme um.

$y - 1 = 0 + 0 + 4 \cdot (x + 2)$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y - 1 = 4 \cdot (x + 2)$

Schritt 2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 1 = 4 x + 4 \cdot 2$

Schritt 2.3.1.4

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$y - 1 = 4 x + 8$

Schritt 2.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = 4 x + 8 + 1$

Schritt 2.3.2.2

Addiere $8$ und $1$ .

$y = 4 x + 9$

Schritt 3