Analysis Beispiele

$f (x) = 2 x^{3} + 3 x - 3$ at $x = 1$

Schritt 1

Bestimme den entsprechenden $y$ -Wert zu $x = 1$ .

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Schritt 1.1

Setze $1$ für $x$ ein.

$y = 2 {(1)}^{3} + 3 (1) - 3$

Schritt 1.2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 1.2.1

Entferne die Klammern.

$y = 2 \cdot 1^{3} + 3 (1) - 3$

Schritt 1.2.2

Entferne die Klammern.

$y = 2 {(1)}^{3} + 3 (1) - 3$

Schritt 1.2.3

Vereinfache $2 {(1)}^{3} + 3 (1) - 3$ .

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Schritt 1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.3.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$y = 2 \cdot 1 + 3 (1) - 3$

Schritt 1.2.3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = 2 + 3 (1) - 3$

Schritt 1.2.3.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$y = 2 + 3 - 3$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 1.2.3.2.1

Addiere $2$ und $3$ .

$y = 5 - 3$

Schritt 1.2.3.2.2

Subtrahiere $3$ von $5$ .

$y = 2$

Schritt 2

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 1$ und $y = 2$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x^{3} + 3 x - 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{3}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$6 x^{2} + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$6 x^{2} + 3 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.4.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$6 x^{2} + 3 + 0$

Schritt 2.4.2

Addiere $6 x^{2} + 3$ und $0$ .

$6 x^{2} + 3$

Schritt 2.5

Bestimme die Ableitung bei $x = 1$ .

$6 {(1)}^{2} + 3$

Schritt 2.6

Vereinfache.

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Schritt 2.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.6.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$6 \cdot 1 + 3$

Schritt 2.6.1.2

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$6 + 3$

Schritt 2.6.2

Addiere $6$ und $3$ .

$9$

Schritt 3

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 3.1

Benutze die Steigung $9$ und einen gegebenen Punkt $(1, 2)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (2) = 9 \cdot (x - (1))$

Schritt 3.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - 2 = 9 \cdot (x - 1)$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache $9 \cdot (x - 1)$ .

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Schritt 3.3.1.1

Forme um.

$y - 2 = 0 + 0 + 9 \cdot (x - 1)$

Schritt 3.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y - 2 = 9 \cdot (x - 1)$

Schritt 3.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 2 = 9 x + 9 \cdot - 1$

Schritt 3.3.1.4

Mutltipliziere $9$ mit $- 1$ .

$y - 2 = 9 x - 9$

Schritt 3.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.2.1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = 9 x - 9 + 2$

Schritt 3.3.2.2

Addiere $- 9$ und $2$ .

$y = 9 x - 7$

Schritt 4