Analysis Beispiele

$\sqrt{x} + \sqrt{y} = 5$ , $(9, 4)$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 9$ und $y = 4$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Schreibe die linke Seite um mit rationalen Exponenten.

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Schritt 1.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x^{\frac{1}{2}} + \sqrt{y} = 5$

Schritt 1.1.2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{y}$ als $y^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}} = 5$

Schritt 1.2

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d x} (5)$

Schritt 1.3

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 1.3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

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Schritt 1.3.2.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 1.3.2.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 1.3.2.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 1.3.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 1.3.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.3.2.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 1.3.2.5.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 1.3.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 1.3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$ .

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Schritt 1.3.3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 1.3.3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 1.3.3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 1.3.3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 1.3.3.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1} y'$

Schritt 1.3.3.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} y'$

Schritt 1.3.3.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} y'$

Schritt 1.3.3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} y'$

Schritt 1.3.3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.3.3.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}} y'$

Schritt 1.3.3.6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}} y'$

Schritt 1.3.3.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}} y'$

Schritt 1.3.3.8

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2} y'$

Schritt 1.3.3.9

Kombiniere $\frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2}$ und $y'$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{y^{- \frac{1}{2}} y'}{2}$

Schritt 1.3.3.10

Bringe $y^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.3.4

Vereinfache.

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Schritt 1.3.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.3.4.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.4

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 1.5

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 1.6

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 1.6.1

Subtrahiere $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} = - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.6.2

Multipliziere beide Seiten mit $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}}) = - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Schritt 1.6.3

Vereinfache.

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Schritt 1.6.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.6.3.1.1

Vereinfache $\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$ .

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Schritt 1.6.3.1.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Schritt 1.6.3.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.6.3.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Schritt 1.6.3.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Schritt 1.6.3.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 1.6.3.1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Schritt 1.6.3.1.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Schritt 1.6.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.6.3.2.1

Vereinfache $- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$ .

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Schritt 1.6.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.6.3.2.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ in den Zähler.

$y' = \frac{- 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Schritt 1.6.3.2.1.1.2

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$y' = \frac{- 1}{2 (x^{\frac{1}{2}})} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Schritt 1.6.3.2.1.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 y^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$y' = \frac{- 1}{2 (x^{\frac{1}{2}})} (2 (y^{\frac{1}{2}}))$

Schritt 1.6.3.2.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{- 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Schritt 1.6.3.2.1.1.5

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}}$

Schritt 1.6.3.2.1.2

Kombiniere $\frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}}}$ und $y^{\frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{- y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.6.3.2.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.7

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.8

Berechne bei $x = 9$ und $y = 4$ .

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Schritt 1.8.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $9$ .

$- \frac{y^{\frac{1}{2}}}{{(9)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.8.2

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $y$ durch $4$ .

$- \frac{{(4)}^{\frac{1}{2}}}{{(9)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.8.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.8.3.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$- \frac{{(2^{2})}^{\frac{1}{2}}}{9^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.8.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{2^{2 (\frac{1}{2})}}{9^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.8.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.8.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{2^{2 (\frac{1}{2})}}{9^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.8.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{2^{1}}{9^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.8.3.4

Berechne den Exponenten.

$- \frac{2}{9^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.8.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.8.4.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$- \frac{2}{{(3^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.8.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{2}{3^{2 (\frac{1}{2})}}$

Schritt 1.8.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.8.4.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{2}{3^{2 (\frac{1}{2})}}$

Schritt 1.8.4.3.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{2}{3^{1}}$

Schritt 1.8.4.4

Berechne den Exponenten.

$- \frac{2}{3}$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $- \frac{2}{3}$ und einen gegebenen Punkt $(9, 4)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (4) = - \frac{2}{3} \cdot (x - (9))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - 4 = - \frac{2}{3} \cdot (x - 9)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache $- \frac{2}{3} \cdot (x - 9)$ .

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Schritt 2.3.1.1

Forme um.

$y - 4 = 0 + 0 - \frac{2}{3} \cdot (x - 9)$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 4 = - \frac{2}{3} x - \frac{2}{3} \cdot - 9$

Schritt 2.3.1.2.2

Kombiniere $x$ und $\frac{2}{3}$ .

$y - 4 = - \frac{x \cdot 2}{3} - \frac{2}{3} \cdot - 9$

Schritt 2.3.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.3.1.2.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{2}{3}$ in den Zähler.

$y - 4 = - \frac{x \cdot 2}{3} + \frac{- 2}{3} \cdot - 9$

Schritt 2.3.1.2.3.2

Faktorisiere $3$ aus $- 9$ heraus.

$y - 4 = - \frac{x \cdot 2}{3} + \frac{- 2}{3} \cdot (3 (- 3))$

Schritt 2.3.1.2.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y - 4 = - \frac{x \cdot 2}{3} + \frac{- 2}{3} \cdot (3 \cdot - 3)$

Schritt 2.3.1.2.3.4

Forme den Ausdruck um.

$y - 4 = - \frac{x \cdot 2}{3} - 2 \cdot - 3$

Schritt 2.3.1.2.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 3$ .

$y - 4 = - \frac{x \cdot 2}{3} + 6$

Schritt 2.3.1.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$y - 4 = - \frac{2 x}{3} + 6$

Schritt 2.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.2.1

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = - \frac{2 x}{3} + 6 + 4$

Schritt 2.3.2.2

Addiere $6$ und $4$ .

$y = - \frac{2 x}{3} + 10$

Schritt 2.3.3

Schreibe in $y = m x + b$ -Form.

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Schritt 2.3.3.1

Stelle die Terme um.

$y = - (\frac{2}{3} x) + 10$

Schritt 2.3.3.2

Entferne die Klammern.

$y = - \frac{2}{3} x + 10$

Schritt 3