Analysis Beispiele

$y = \cos (3 x)$ , $(\frac{π}{4}, - \frac{\sqrt{2}}{2})$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = \frac{π}{4}$ und $y = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = 3 x$ .

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Schritt 1.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 x$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [3 x]$

Schritt 1.1.2

Die Ableitung von $\cos (u)$ nach $u$ ist $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [3 x]$

Schritt 1.1.3

Ersetze alle $u$ durch $3 x$ .

$- \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]$

Schritt 1.2

Differenziere.

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Schritt 1.2.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$- 3 \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 3 \sin (3 x) \cdot 1$

Schritt 1.2.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$- 3 \sin (3 x)$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung bei $x = \frac{π}{4}$ .

$- 3 \sin (3 (\frac{π}{4}))$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Kombiniere $3$ und $\frac{π}{4}$ .

$- 3 \sin (\frac{3 π}{4})$

Schritt 1.4.2

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$- 3 \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 1.4.3

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 3 \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 1.4.4

Kombiniere $- 3$ und $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{- 3 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 1.4.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $- \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ und einen gegebenen Punkt $(\frac{π}{4}, - \frac{\sqrt{2}}{2})$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot (x - (\frac{π}{4}))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y + \frac{\sqrt{2}}{2} = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot (x - \frac{π}{4})$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache $- \frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot (x - \frac{π}{4})$ .

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Schritt 2.3.1.1

Forme um.

$y + \frac{\sqrt{2}}{2} = 0 + 0 - \frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot (x - \frac{π}{4})$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y + \frac{\sqrt{2}}{2} = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot (x - \frac{π}{4})$

Schritt 2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y + \frac{\sqrt{2}}{2} = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} x - \frac{3 \sqrt{2}}{2} (- \frac{π}{4})$

Schritt 2.3.1.4

Kombiniere $x$ und $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ .

$y + \frac{\sqrt{2}}{2} = - \frac{x (3 \sqrt{2})}{2} - \frac{3 \sqrt{2}}{2} (- \frac{π}{4})$

Schritt 2.3.1.5

Multipliziere $- \frac{3 \sqrt{2}}{2} (- \frac{π}{4})$ .

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Schritt 2.3.1.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y + \frac{\sqrt{2}}{2} = - \frac{x (3 \sqrt{2})}{2} + 1 \frac{3 \sqrt{2}}{2} \frac{π}{4}$

Schritt 2.3.1.5.2

Mutltipliziere $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ mit $1$ .

$y + \frac{\sqrt{2}}{2} = - \frac{x (3 \sqrt{2})}{2} + \frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{π}{4}$

Schritt 2.3.1.5.3

Mutltipliziere $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ mit $\frac{π}{4}$ .

$y + \frac{\sqrt{2}}{2} = - \frac{x (3 \sqrt{2})}{2} + \frac{3 \sqrt{2} π}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.3.1.5.4

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$y + \frac{\sqrt{2}}{2} = - \frac{x (3 \sqrt{2})}{2} + \frac{3 \sqrt{2} π}{8}$

Schritt 2.3.1.6

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$y + \frac{\sqrt{2}}{2} = - \frac{3 x \sqrt{2}}{2} + \frac{3 \sqrt{2} π}{8}$

Schritt 2.3.2

Subtrahiere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = - \frac{3 x \sqrt{2}}{2} + \frac{3 \sqrt{2} π}{8} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 2.3.3

Schreibe in $y = m x + b$ -Form.

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Schritt 2.3.3.1

Um $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$y = - \frac{3 x \sqrt{2}}{2} + \frac{3 \sqrt{2} π}{8} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{4}{4}$

Schritt 2.3.3.2

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $8$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.3.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$y = - \frac{3 x \sqrt{2}}{2} + \frac{3 \sqrt{2} π}{8} - \frac{\sqrt{2} \cdot 4}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.3.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$y = - \frac{3 x \sqrt{2}}{2} + \frac{3 \sqrt{2} π}{8} - \frac{\sqrt{2} \cdot 4}{8}$

Schritt 2.3.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = - \frac{3 x \sqrt{2}}{2} + \frac{3 \sqrt{2} π - \sqrt{2} \cdot 4}{8}$

Schritt 2.3.3.4

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$y = - \frac{3 x \sqrt{2}}{2} + \frac{3 \sqrt{2} π - 4 \sqrt{2}}{8}$

Schritt 2.3.3.5

Stelle die Terme um.

$y = - (\frac{3 \sqrt{2}}{2} x) + \frac{3 \sqrt{2} π - 4 \sqrt{2}}{8}$

Schritt 2.3.3.6

Entferne die Klammern.

$y = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} x + \frac{3 \sqrt{2} π - 4 \sqrt{2}}{8}$

Schritt 3