Analysis Beispiele

$y^{2} - x^{2} y - 6 x = 0$ , $(2, 6)$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 2$ und $y = 6$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y^{2} - x^{2} y - 6 x) = \frac{d}{d x} (0)$

Schritt 1.2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y^{2} - x^{2} y - 6 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Schritt 1.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

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Schritt 1.2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 1.2.2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Schritt 1.2.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Schritt 1.2.2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Schritt 1.2.2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$2 y y' + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Schritt 1.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{2} y]$ .

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Schritt 1.2.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2} y$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

$2 y y' - \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Schritt 1.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

$2 y y' - (x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Schritt 1.2.3.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$2 y y' - (x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Schritt 1.2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 y y' - (x^{2} y' + y (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Schritt 1.2.3.5

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y$ .

$2 y y' - (x^{2} y' + 2 y x) + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Schritt 1.2.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

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Schritt 1.2.4.1

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6 x$ nach $x$ gleich $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 y y' - (x^{2} y' + 2 y x) - 6 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 y y' - (x^{2} y' + 2 y x) - 6 \cdot 1$

Schritt 1.2.4.3

Mutltipliziere $- 6$ mit $1$ .

$2 y y' - (x^{2} y' + 2 y x) - 6$

Schritt 1.2.5

Vereinfache.

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Schritt 1.2.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 y y' - (x^{2} y') - (2 y x) - 6$

Schritt 1.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$2 y y' - x^{2} y' - 2 y x - 6$

Schritt 1.2.5.3

Stelle die Terme um.

$2 y y' - x^{2} y' - 2 x y - 6$

Schritt 1.3

Da $0$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $0$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 1.4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$2 y y' - x^{2} y' - 2 x y - 6 = 0$

Schritt 1.5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 1.5.1

Bringe alle Terme, die nicht $y'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.5.1.1

Addiere $2 x y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 y y' - x^{2} y' - 6 = 2 x y$

Schritt 1.5.1.2

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 y y' - x^{2} y' = 2 x y + 6$

Schritt 1.5.2

Faktorisiere $y'$ aus $2 y y' - x^{2} y'$ heraus.

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Schritt 1.5.2.1

Faktorisiere $y'$ aus $2 y y'$ heraus.

$y' (2 y) - x^{2} y' = 2 x y + 6$

Schritt 1.5.2.2

Faktorisiere $y'$ aus $- x^{2} y'$ heraus.

$y' (2 y) + y' (- x^{2}) = 2 x y + 6$

Schritt 1.5.2.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' (2 y) + y' (- x^{2})$ heraus.

$y' (2 y - x^{2}) = 2 x y + 6$

Schritt 1.5.3

Teile jeden Ausdruck in $y' (2 y - x^{2}) = 2 x y + 6$ durch $2 y - x^{2}$ und vereinfache.

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Schritt 1.5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (2 y - x^{2}) = 2 x y + 6$ durch $2 y - x^{2}$ .

$\frac{y' (2 y - x^{2})}{2 y - x^{2}} = \frac{2 x y}{2 y - x^{2}} + \frac{6}{2 y - x^{2}}$

Schritt 1.5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 y - x^{2}$ .

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Schritt 1.5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (2 y - x^{2})}{2 y - x^{2}} = \frac{2 x y}{2 y - x^{2}} + \frac{6}{2 y - x^{2}}$

Schritt 1.5.3.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{2 x y}{2 y - x^{2}} + \frac{6}{2 y - x^{2}}$

Schritt 1.5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.5.3.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{2 x y + 6}{2 y - x^{2}}$

Schritt 1.5.3.3.2

Faktorisiere $2$ aus $2 x y + 6$ heraus.

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Schritt 1.5.3.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x y$ heraus.

$y' = \frac{2 (x y) + 6}{2 y - x^{2}}$

Schritt 1.5.3.3.2.2

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$y' = \frac{2 (x y) + 2 \cdot 3}{2 y - x^{2}}$

Schritt 1.5.3.3.2.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (x y) + 2 \cdot 3$ heraus.

$y' = \frac{2 (x y + 3)}{2 y - x^{2}}$

Schritt 1.6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 (x y + 3)}{2 y - x^{2}}$

Schritt 1.7

Berechne bei $x = 2$ und $y = 6$ .

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Schritt 1.7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$\frac{2 ((2) \cdot y + 3)}{2 y - {(2)}^{2}}$

Schritt 1.7.2

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $y$ durch $6$ .

$\frac{2 ((2) \cdot (6) + 3)}{2 (6) - {(2)}^{2}}$

Schritt 1.7.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $2 (6) - {(2)}^{2}$ .

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Schritt 1.7.3.1

Stelle die Terme um.

$\frac{2 ((2) \cdot (6) + 3)}{- {(2)}^{2} + 2 \cdot 6}$

Schritt 1.7.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.7.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- {(2)}^{2}$ heraus.

$\frac{2 ((2) \cdot (6) + 3)}{2 (- 1 \cdot 2) + 2 \cdot 6}$

Schritt 1.7.3.2.2

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 6$ heraus.

$\frac{2 ((2) \cdot (6) + 3)}{2 (- 1 \cdot 2) + 2 (6)}$

Schritt 1.7.3.2.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (- 1 \cdot 2) + 2 (6)$ heraus.

$\frac{2 ((2) \cdot (6) + 3)}{2 (- 1 \cdot 2 + 6)}$

Schritt 1.7.3.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 ((2) \cdot (6) + 3)}{2 (- 1 \cdot 2 + 6)}$

Schritt 1.7.3.2.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(2) \cdot (6) + 3}{- 1 \cdot 2 + 6}$

Schritt 1.7.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.7.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$\frac{12 + 3}{- 1 \cdot 2 + 6}$

Schritt 1.7.4.2

Addiere $12$ und $3$ .

$\frac{15}{- 1 \cdot 2 + 6}$

Schritt 1.7.5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.7.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{15}{- 2 + 6}$

Schritt 1.7.5.2

Addiere $- 2$ und $6$ .

$\frac{15}{4}$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $\frac{15}{4}$ und einen gegebenen Punkt $(2, 6)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (6) = \frac{15}{4} \cdot (x - (2))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - 6 = \frac{15}{4} \cdot (x - 2)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache $\frac{15}{4} \cdot (x - 2)$ .

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Schritt 2.3.1.1

Forme um.

$y - 6 = 0 + 0 + \frac{15}{4} \cdot (x - 2)$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y - 6 = \frac{15}{4} \cdot (x - 2)$

Schritt 2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 6 = \frac{15}{4} x + \frac{15}{4} \cdot - 2$

Schritt 2.3.1.4

Kombiniere $\frac{15}{4}$ und $x$ .

$y - 6 = \frac{15 x}{4} + \frac{15}{4} \cdot - 2$

Schritt 2.3.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.1.5.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$y - 6 = \frac{15 x}{4} + \frac{15}{2 (2)} \cdot - 2$

Schritt 2.3.1.5.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$y - 6 = \frac{15 x}{4} + \frac{15}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1)$

Schritt 2.3.1.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y - 6 = \frac{15 x}{4} + \frac{15}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1)$

Schritt 2.3.1.5.4

Forme den Ausdruck um.

$y - 6 = \frac{15 x}{4} + \frac{15}{2} \cdot - 1$

Schritt 2.3.1.6

Kombiniere $\frac{15}{2}$ und $- 1$ .

$y - 6 = \frac{15 x}{4} + \frac{15 \cdot - 1}{2}$

Schritt 2.3.1.7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.1.7.1

Mutltipliziere $15$ mit $- 1$ .

$y - 6 = \frac{15 x}{4} + \frac{- 15}{2}$

Schritt 2.3.1.7.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y - 6 = \frac{15 x}{4} - \frac{15}{2}$

Schritt 2.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.2.1

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = \frac{15 x}{4} - \frac{15}{2} + 6$

Schritt 2.3.2.2

Um $6$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{15 x}{4} - \frac{15}{2} + 6 \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 2.3.2.3

Kombiniere $6$ und $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{15 x}{4} - \frac{15}{2} + \frac{6 \cdot 2}{2}$

Schritt 2.3.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{15 x}{4} + \frac{- 15 + 6 \cdot 2}{2}$

Schritt 2.3.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.2.5.1

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$y = \frac{15 x}{4} + \frac{- 15 + 12}{2}$

Schritt 2.3.2.5.2

Addiere $- 15$ und $12$ .

$y = \frac{15 x}{4} + \frac{- 3}{2}$

Schritt 2.3.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{15 x}{4} - \frac{3}{2}$

Schritt 2.3.3

Stelle die Terme um.

$y = \frac{15}{4} x - \frac{3}{2}$

Schritt 3