Analysis Beispiele

$x^{2} y^{2} - 9 x^{2} - 4 y^{2} = 0$ , $(4, - 2 \sqrt{3})$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 4$ und $y = - 2 \sqrt{3}$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x^{2} y^{2} - 9 x^{2} - 4 y^{2}) = \frac{d}{d x} (0)$

Schritt 1.2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} y^{2} - 9 x^{2} - 4 y^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Schritt 1.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$ .

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Schritt 1.2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y^{2}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Schritt 1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 1.2.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $y$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Schritt 1.2.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x^{2} (2 u_{1} \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Schritt 1.2.2.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $y$ .

$x^{2} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Schritt 1.2.2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$x^{2} (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Schritt 1.2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x^{2} (2 y y') + y^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Schritt 1.2.2.5

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$2 \cdot x^{2} y y' + y^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Schritt 1.2.2.6

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y^{2}$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Schritt 1.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

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Schritt 1.2.3.1

Da $- 9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 9 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Schritt 1.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 9 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Schritt 1.2.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 9$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 18 x + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Schritt 1.2.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$ .

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Schritt 1.2.4.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 y^{2}$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 18 x - 4 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 1.2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 1.2.4.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $y$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 18 x - 4 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 1.2.4.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 18 x - 4 (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 1.2.4.2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $y$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 18 x - 4 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 1.2.4.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 18 x - 4 (2 y y')$

Schritt 1.2.4.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 4$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 18 x - 8 y y'$

Schritt 1.2.5

Stelle die Terme um.

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 8 y y' - 18 x$

Schritt 1.3

Da $0$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $0$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 1.4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 8 y y' - 18 x = 0$

Schritt 1.5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 1.5.1

Bringe alle Terme, die nicht $y'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.5.1.1

Subtrahiere $2 y^{2} x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{2} y y' - 8 y y' - 18 x = - 2 y^{2} x$

Schritt 1.5.1.2

Addiere $18 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{2} y y' - 8 y y' = - 2 y^{2} x + 18 x$

Schritt 1.5.2

Faktorisiere $2 y y'$ aus $2 x^{2} y y' - 8 y y'$ heraus.

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Schritt 1.5.2.1

Faktorisiere $2 y y'$ aus $2 x^{2} y y'$ heraus.

$2 y y' x^{2} - 8 y y' = - 2 y^{2} x + 18 x$

Schritt 1.5.2.2

Faktorisiere $2 y y'$ aus $- 8 y y'$ heraus.

$2 y y' x^{2} + 2 y y' \cdot - 4 = - 2 y^{2} x + 18 x$

Schritt 1.5.2.3

Faktorisiere $2 y y'$ aus $2 y y' x^{2} + 2 y y' \cdot - 4$ heraus.

$2 y y' (x^{2} - 4) = - 2 y^{2} x + 18 x$

Schritt 1.5.3

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$2 y y' (x^{2} - 2^{2}) = - 2 y^{2} x + 18 x$

Schritt 1.5.4

Faktorisiere.

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Schritt 1.5.4.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$2 y y' ((x + 2) (x - 2)) = - 2 y^{2} x + 18 x$

Schritt 1.5.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$2 y y' (x + 2) (x - 2) = - 2 y^{2} x + 18 x$

Schritt 1.5.5

Teile jeden Ausdruck in $2 y y' (x + 2) (x - 2) = - 2 y^{2} x + 18 x$ durch $2 y (x + 2) (x - 2)$ und vereinfache.

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Schritt 1.5.5.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y y' (x + 2) (x - 2) = - 2 y^{2} x + 18 x$ durch $2 y (x + 2) (x - 2)$ .

$\frac{2 y y' (x + 2) (x - 2)}{2 y (x + 2) (x - 2)} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 y (x + 2) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Schritt 1.5.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.5.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.5.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y y' (x + 2) (x - 2)}{2 y (x + 2) (x - 2)} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 y (x + 2) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Schritt 1.5.5.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y y' (x + 2) (x - 2)}{(y (x + 2)) (x - 2)} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 y (x + 2) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Schritt 1.5.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.5.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y y' (x + 2) (x - 2)}{y (x + 2) (x - 2)} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 y (x + 2) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Schritt 1.5.5.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' (x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 y (x + 2) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Schritt 1.5.5.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 2$ .

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Schritt 1.5.5.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 y (x + 2) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Schritt 1.5.5.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' (x - 2)}{x - 2} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 y (x + 2) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Schritt 1.5.5.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 2$ .

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Schritt 1.5.5.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (x - 2)}{x - 2} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 y (x + 2) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Schritt 1.5.5.2.4.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 2 y^{2} x}{2 y (x + 2) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Schritt 1.5.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.5.5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.5.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 1.5.5.3.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 y^{2} x$ heraus.

$y' = \frac{2 (- y^{2} x)}{2 y (x + 2) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Schritt 1.5.5.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.5.5.3.1.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 y (x + 2) (x - 2)$ heraus.

$y' = \frac{2 (- y^{2} x)}{2 ((y (x + 2)) (x - 2))} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Schritt 1.5.5.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{2 (- y^{2} x)}{2 ((y (x + 2)) (x - 2))} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Schritt 1.5.5.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{- y^{2} x}{(y (x + 2)) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Schritt 1.5.5.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $y^{2}$ und $y$ .

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Schritt 1.5.5.3.1.2.1

Faktorisiere $y$ aus $- y^{2} x$ heraus.

$y' = \frac{y (- y x)}{(y (x + 2)) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Schritt 1.5.5.3.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.5.5.3.1.2.2.1

Faktorisiere $y$ aus $(y (x + 2)) (x - 2)$ heraus.

$y' = \frac{y (- y x)}{y ((x + 2) (x - 2))} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Schritt 1.5.5.3.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{y (- y x)}{y ((x + 2) (x - 2))} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Schritt 1.5.5.3.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{- y x}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Schritt 1.5.5.3.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{y x}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Schritt 1.5.5.3.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $18$ und $2$ .

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Schritt 1.5.5.3.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $18 x$ heraus.

$y' = - \frac{y x}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{2 (9 x)}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Schritt 1.5.5.3.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.5.5.3.1.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 y (x + 2) (x - 2)$ heraus.

$y' = - \frac{y x}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{2 (9 x)}{2 ((y (x + 2)) (x - 2))}$

Schritt 1.5.5.3.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = - \frac{y x}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{2 (9 x)}{2 ((y (x + 2)) (x - 2))}$

Schritt 1.5.5.3.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = - \frac{y x}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{9 x}{(y (x + 2)) (x - 2)}$

$y' = - \frac{y x}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{9 x}{y (x + 2) (x - 2)}$

Schritt 1.6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y x}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{9 x}{y (x + 2) (x - 2)}$

Schritt 1.7

Berechne bei $x = 4$ und $y = - 2 \sqrt{3}$ .

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Schritt 1.7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $4$ .

$- \frac{y (4)}{((4) + 2) ((4) - 2)} + \frac{9 (4)}{y ((4) + 2) ((4) - 2)}$

Schritt 1.7.2

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $y$ durch $- 2 \sqrt{3}$ .

$- \frac{(- 2 \sqrt{3}) (4)}{((4) + 2) ((4) - 2)} + \frac{9 (4)}{(- 2 \sqrt{3}) ((4) + 2) ((4) - 2)}$

Schritt 1.7.3

Mutltipliziere $9$ mit $4$ .

$- \frac{(- 2 \sqrt{3}) (4)}{((4) + 2) ((4) - 2)} + \frac{36}{(- 2 \sqrt{3}) ((4) + 2) ((4) - 2)}$

Schritt 1.7.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $(4) + 2$ .

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Schritt 1.7.4.1.1

Faktorisiere $2$ aus $(- 2 \sqrt{3}) (4)$ heraus.

$- \frac{2 (- \sqrt{3} \cdot 4)}{((4) + 2) ((4) - 2)} + \frac{36}{(- 2 \sqrt{3}) ((4) + 2) ((4) - 2)}$

Schritt 1.7.4.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.7.4.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $((4) + 2) ((4) - 2)$ heraus.

$- \frac{2 (- \sqrt{3} \cdot 4)}{2 ((2 + 1) ((4) - 2))} + \frac{36}{(- 2 \sqrt{3}) ((4) + 2) ((4) - 2)}$

Schritt 1.7.4.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{2 (- \sqrt{3} \cdot 4)}{2 ((2 + 1) ((4) - 2))} + \frac{36}{(- 2 \sqrt{3}) ((4) + 2) ((4) - 2)}$

Schritt 1.7.4.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{- \sqrt{3} \cdot 4}{(2 + 1) ((4) - 2)} + \frac{36}{(- 2 \sqrt{3}) ((4) + 2) ((4) - 2)}$

Schritt 1.7.4.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $(4) - 2$ .

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Schritt 1.7.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- \sqrt{3} \cdot 4$ heraus.

$- \frac{2 (- \sqrt{3} \cdot 2)}{(2 + 1) ((4) - 2)} + \frac{36}{(- 2 \sqrt{3}) ((4) + 2) ((4) - 2)}$

Schritt 1.7.4.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.7.4.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $(2 + 1) ((4) - 2)$ heraus.

$- \frac{2 (- \sqrt{3} \cdot 2)}{2 ((2 + 1) (2 - 1))} + \frac{36}{(- 2 \sqrt{3}) ((4) + 2) ((4) - 2)}$

Schritt 1.7.4.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{2 (- \sqrt{3} \cdot 2)}{2 ((2 + 1) (2 - 1))} + \frac{36}{(- 2 \sqrt{3}) ((4) + 2) ((4) - 2)}$

Schritt 1.7.4.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{- \sqrt{3} \cdot 2}{(2 + 1) (2 - 1)} + \frac{36}{(- 2 \sqrt{3}) ((4) + 2) ((4) - 2)}$

Schritt 1.7.4.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- \frac{- 2 \sqrt{3}}{(2 + 1) (2 - 1)} + \frac{36}{(- 2 \sqrt{3}) ((4) + 2) ((4) - 2)}$

Schritt 1.7.4.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.7.4.4.1

Addiere $2$ und $1$ .

$- \frac{- 2 \sqrt{3}}{3 (2 - 1)} + \frac{36}{(- 2 \sqrt{3}) ((4) + 2) ((4) - 2)}$

Schritt 1.7.4.4.2

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$- \frac{- 2 \sqrt{3}}{3 \cdot 1} + \frac{36}{(- 2 \sqrt{3}) ((4) + 2) ((4) - 2)}$

Schritt 1.7.4.5

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$- \frac{- 2 \sqrt{3}}{3} + \frac{36}{(- 2 \sqrt{3}) ((4) + 2) ((4) - 2)}$

Schritt 1.7.4.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- - \frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{36}{(- 2 \sqrt{3}) ((4) + 2) ((4) - 2)}$

Schritt 1.7.4.7

Multipliziere $- - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

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Schritt 1.7.4.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{36}{(- 2 \sqrt{3}) ((4) + 2) ((4) - 2)}$

Schritt 1.7.4.7.2

Mutltipliziere $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ mit $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{36}{(- 2 \sqrt{3}) ((4) + 2) ((4) - 2)}$

Schritt 1.7.4.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $36$ und $- 2$ .

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Schritt 1.7.4.8.1

Faktorisiere $2$ aus $36$ heraus.

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{2 (18)}{(- 2 \sqrt{3}) ((4) + 2) ((4) - 2)}$

Schritt 1.7.4.8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.7.4.8.2.1

Faktorisiere $2$ aus $(- 2 \sqrt{3}) ((4) + 2) ((4) - 2)$ heraus.

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{2 (18)}{2 (- \sqrt{3} ((4) + 2) ((4) - 2))}$

Schritt 1.7.4.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{2 \cdot 18}{2 (- \sqrt{3} ((4) + 2) ((4) - 2))}$

Schritt 1.7.4.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{18}{- \sqrt{3} ((4) + 2) ((4) - 2)}$

Schritt 1.7.4.9

Kürze den gemeinsamen Teiler von $18$ und $(4) + 2$ .

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Schritt 1.7.4.9.1

Faktorisiere $2$ aus $18$ heraus.

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{2 \cdot 9}{- \sqrt{3} (4 + 2) ((4) - 2)}$

Schritt 1.7.4.9.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.7.4.9.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- \sqrt{3} (4 + 2) ((4) - 2)$ heraus.

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{2 \cdot 9}{2 (- \sqrt{3} (2 + 1) ((4) - 2))}$

Schritt 1.7.4.9.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{2 \cdot 9}{2 (- \sqrt{3} (2 + 1) ((4) - 2))}$

Schritt 1.7.4.9.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{9}{- \sqrt{3} (2 + 1) ((4) - 2)}$

Schritt 1.7.4.10

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.7.4.10.1

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{9}{- \sqrt{3} \cdot 3 (4 - 2)}$

Schritt 1.7.4.10.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{9}{- 3 \sqrt{3} (4 - 2)}$

Schritt 1.7.4.10.3

Subtrahiere $2$ von $4$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{9}{- 3 \sqrt{3} \cdot 2}$

Schritt 1.7.4.10.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{9}{- 6 \sqrt{3}}$

Schritt 1.7.4.11

Kürze den gemeinsamen Teiler von $9$ und $- 6$ .

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Schritt 1.7.4.11.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{3 (3)}{- 6 \sqrt{3}}$

Schritt 1.7.4.11.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.7.4.11.2.1

Faktorisiere $3$ aus $- 6 \sqrt{3}$ heraus.

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{3 (3)}{3 (- 2 \sqrt{3})}$

Schritt 1.7.4.11.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{3 \cdot 3}{3 (- 2 \sqrt{3})}$

Schritt 1.7.4.11.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{3}{- 2 \sqrt{3}}$

Schritt 1.7.4.12

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{3}{2 \sqrt{3}}$

Schritt 1.7.4.13

Mutltipliziere $\frac{3}{2 \sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} - (\frac{3}{2 \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Schritt 1.7.4.14

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.7.4.14.1

Mutltipliziere $\frac{3}{2 \sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{3 \sqrt{3}}{2 \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 1.7.4.14.2

Bewege $\sqrt{3}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{3 \sqrt{3}}{2 (\sqrt{3} \sqrt{3})}$

Schritt 1.7.4.14.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{3 \sqrt{3}}{2 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})}$

Schritt 1.7.4.14.4

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{3 \sqrt{3}}{2 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})}$

Schritt 1.7.4.14.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{3 \sqrt{3}}{2 {\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Schritt 1.7.4.14.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{3 \sqrt{3}}{2 {\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 1.7.4.14.7

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 1.7.4.14.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{3 \sqrt{3}}{2 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 1.7.4.14.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 1.7.4.14.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 1.7.4.14.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.7.4.14.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 1.7.4.14.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{1}}$

Schritt 1.7.4.14.7.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.7.4.15

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.7.4.15.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.7.4.15.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 1.7.5

Um $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 1.7.6

Um $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 1.7.7

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $6$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 1.7.7.1

Mutltipliziere $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{3} \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 1.7.7.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{2 \sqrt{3} \cdot 2}{6} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 1.7.7.3

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3}}{2}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 \sqrt{3} \cdot 2}{6} - \frac{\sqrt{3} \cdot 3}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.7.7.4

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{2 \sqrt{3} \cdot 2}{6} - \frac{\sqrt{3} \cdot 3}{6}$

Schritt 1.7.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 \sqrt{3} \cdot 2 - \sqrt{3} \cdot 3}{6}$

Schritt 1.7.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.7.9.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{4 \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 3}{6}$

Schritt 1.7.9.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{4 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3}}{6}$

Schritt 1.7.9.3

Subtrahiere $3 \sqrt{3}$ von $4 \sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{6}$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $\frac{\sqrt{3}}{6}$ und einen gegebenen Punkt $(4, - 2 \sqrt{3})$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (- 2 \sqrt{3}) = \frac{\sqrt{3}}{6} \cdot (x - (4))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y + 2 \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{6} \cdot (x - 4)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache $\frac{\sqrt{3}}{6} \cdot (x - 4)$ .

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Schritt 2.3.1.1

Forme um.

$y + 2 \sqrt{3} = 0 + 0 + \frac{\sqrt{3}}{6} \cdot (x - 4)$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y + 2 \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{6} x + \frac{\sqrt{3}}{6} \cdot - 4$

Schritt 2.3.1.2.2

Kombiniere $\frac{\sqrt{3}}{6}$ und $x$ .

$y + 2 \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3} x}{6} + \frac{\sqrt{3}}{6} \cdot - 4$

Schritt 2.3.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.1.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$y + 2 \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3} x}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2 (3)} \cdot - 4$

Schritt 2.3.1.2.3.2

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$y + 2 \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3} x}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot - 2)$

Schritt 2.3.1.2.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y + 2 \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3} x}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot - 2)$

Schritt 2.3.1.2.3.4

Forme den Ausdruck um.

$y + 2 \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3} x}{6} + \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Schritt 2.3.1.2.4

Kombiniere $\frac{\sqrt{3}}{3}$ und $- 2$ .

$y + 2 \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3} x}{6} + \frac{\sqrt{3} \cdot - 2}{3}$

Schritt 2.3.1.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.3.1

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $\sqrt{3}$ .

$y + 2 \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3} x}{6} + \frac{- 2 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 2.3.1.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y + 2 \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3} x}{6} - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 2.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.2.1

Subtrahiere $2 \sqrt{3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = \frac{\sqrt{3} x}{6} - \frac{2 \sqrt{3}}{3} - 2 \sqrt{3}$

Schritt 2.3.2.2

Um $- 2 \sqrt{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{\sqrt{3} x}{6} - \frac{2 \sqrt{3}}{3} - 2 \sqrt{3} \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 2.3.2.3

Kombiniere $- 2 \sqrt{3}$ und $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{\sqrt{3} x}{6} - \frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{- 2 \sqrt{3} \cdot 3}{3}$

Schritt 2.3.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{\sqrt{3} x}{6} + \frac{- 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} \cdot 3}{3}$

Schritt 2.3.2.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.2.5.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$y = \frac{\sqrt{3} x}{6} + \frac{- 2 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 2.3.2.5.1.2

Subtrahiere $6 \sqrt{3}$ von $- 2 \sqrt{3}$ .

$y = \frac{\sqrt{3} x}{6} + \frac{- 8 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 2.3.2.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{\sqrt{3} x}{6} - \frac{8 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 2.3.3

Stelle die Terme um.

$y = \frac{\sqrt{3}}{6} x - \frac{8 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 3