Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{5}{x^{2}}$ ; $x = 1$

Schritt 1

Bestimme den entsprechenden $y$ -Wert zu $x = 1$ .

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Schritt 1.1

Setze $1$ für $x$ ein.

$y = \frac{5}{{(1)}^{2}}$

Schritt 1.2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 1.2.1

Entferne die Klammern.

$y = \frac{5}{1^{2}}$

Schritt 1.2.2

Entferne die Klammern.

$y = \frac{5}{{(1)}^{2}}$

Schritt 1.2.3

Vereinfache $\frac{5}{{(1)}^{2}}$ .

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Schritt 1.2.3.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$y = \frac{5}{1}$

Schritt 1.2.3.2

Dividiere $5$ durch $1$ .

$y = 5$

Schritt 2

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 1$ und $y = 5$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 2.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{5}{x^{2}}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Schritt 2.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.2.1

Schreibe $\frac{1}{x^{2}}$ als ${(x^{2})}^{- 1}$ um.

$5 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Schritt 2.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}]$

Schritt 2.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 2$ .

$5 (- 2 x^{- 3})$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $5$ .

$- 10 x^{- 3}$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 10 \frac{1}{x^{3}}$

Schritt 2.5.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.5.2.1

Kombiniere $- 10$ und $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{- 10}{x^{3}}$

Schritt 2.5.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{10}{x^{3}}$

Schritt 2.6

Bestimme die Ableitung bei $x = 1$ .

$- \frac{10}{{(1)}^{3}}$

Schritt 2.7

Vereinfache.

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Schritt 2.7.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- \frac{10}{1}$

Schritt 2.7.2

Dividiere $10$ durch $1$ .

$- 1 \cdot 10$

Schritt 2.7.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $10$ .

$- 10$

Schritt 3

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 3.1

Benutze die Steigung $- 10$ und einen gegebenen Punkt $(1, 5)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (5) = - 10 \cdot (x - (1))$

Schritt 3.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - 5 = - 10 \cdot (x - 1)$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache $- 10 \cdot (x - 1)$ .

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Schritt 3.3.1.1

Forme um.

$y - 5 = 0 + 0 - 10 \cdot (x - 1)$

Schritt 3.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y - 5 = - 10 \cdot (x - 1)$

Schritt 3.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 5 = - 10 x - 10 \cdot - 1$

Schritt 3.3.1.4

Mutltipliziere $- 10$ mit $- 1$ .

$y - 5 = - 10 x + 10$

Schritt 3.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.2.1

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = - 10 x + 10 + 5$

Schritt 3.3.2.2

Addiere $10$ und $5$ .

$y = - 10 x + 15$

Schritt 4