Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{1}{x - 5}$ ; $(4, - 1)$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 4$ und $y = - 1$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Schreibe $\frac{1}{x - 5}$ als ${(x - 5)}^{- 1}$ um.

$\frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{- 1}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x - 5$ .

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Schritt 1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x - 5$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x - 5]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 5]$

Schritt 1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x - 5$ .

$- {(x - 5)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 5]$

Schritt 1.3

Differenziere.

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Schritt 1.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$- {(x - 5)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- {(x - 5)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} [- 5])$

Schritt 1.3.3

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- {(x - 5)}^{- 2} (1 + 0)$

Schritt 1.3.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.3.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$- {(x - 5)}^{- 2} \cdot 1$

Schritt 1.3.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- {(x - 5)}^{- 2}$

Schritt 1.4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{{(x - 5)}^{2}}$

Schritt 1.5

Bestimme die Ableitung bei $x = 4$ .

$- \frac{1}{{((4) - 5)}^{2}}$

Schritt 1.6

Vereinfache.

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Schritt 1.6.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.6.1.1

Subtrahiere $5$ von $4$ .

$- \frac{1}{{(- 1)}^{2}}$

Schritt 1.6.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$- \frac{1}{1}$

Schritt 1.6.2

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

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Schritt 1.6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{1}{1}$

Schritt 1.6.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$- 1 \cdot 1$

Schritt 1.6.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $- 1$ und einen gegebenen Punkt $(4, - 1)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (- 1) = - 1 \cdot (x - (4))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y + 1 = - 1 \cdot (x - 4)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache $- 1 \cdot (x - 4)$ .

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Schritt 2.3.1.1

Forme um.

$y + 1 = 0 + 0 - 1 \cdot (x - 4)$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y + 1 = - 1 \cdot (x - 4)$

Schritt 2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y + 1 = - 1 x - 1 \cdot - 4$

Schritt 2.3.1.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.1.4.1

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$y + 1 = - x - 1 \cdot - 4$

Schritt 2.3.1.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$y + 1 = - x + 4$

Schritt 2.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = - x + 4 - 1$

Schritt 2.3.2.2

Subtrahiere $1$ von $4$ .

$y = - x + 3$

Schritt 3