Analysis Beispiele

$f (x) = 2 x e^{x}$ , $(0, 0)$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 0$ und $y = 0$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x e^{x}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = e^{x}$ .

$2 (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.3

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$2 (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 1.4.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 (x e^{x} + e^{x} \cdot 1)$

Schritt 1.4.2

Mutltipliziere $e^{x}$ mit $1$ .

$2 (x e^{x} + e^{x})$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (x e^{x}) + 2 e^{x}$

Schritt 1.5.2

Stelle die Terme um.

$2 e^{x} x + 2 e^{x}$

Schritt 1.5.3

Stelle die Faktoren in $2 e^{x} x + 2 e^{x}$ um.

$2 x e^{x} + 2 e^{x}$

Schritt 1.6

Bestimme die Ableitung bei $x = 0$ .

$2 (0) \cdot e^{0} + 2 e^{0}$

Schritt 1.7

Vereinfache.

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Schritt 1.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.7.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$0 \cdot e^{0} + 2 e^{0}$

Schritt 1.7.1.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$0 \cdot 1 + 2 e^{0}$

Schritt 1.7.1.3

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

$0 + 2 e^{0}$

Schritt 1.7.1.4

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$0 + 2 \cdot 1$

Schritt 1.7.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$0 + 2$

Schritt 1.7.2

Addiere $0$ und $2$ .

$2$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $2$ und einen gegebenen Punkt $(0, 0)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (0) = 2 \cdot (x - (0))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y + 0 = 2 \cdot (x + 0)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Addiere $y$ und $0$ .

$y = 2 \cdot (x + 0)$

Schritt 2.3.2

Addiere $x$ und $0$ .

$y = 2 x$

Schritt 3