Analysis Beispiele

$y = \frac{x^{2}}{3 + x}$ , $(1, \frac{1}{4})$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 1$ und $y = \frac{1}{4}$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = 3 + x$ .

$\frac{(3 + x) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [3 + x]}{{(3 + x)}^{2}}$

Schritt 1.2

Differenziere.

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Schritt 1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{(3 + x) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [3 + x]}{{(3 + x)}^{2}}$

Schritt 1.2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $3 + x$ .

$\frac{2 \cdot (3 + x) x - x^{2} \frac{d}{d x} [3 + x]}{{(3 + x)}^{2}}$

Schritt 1.2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 + x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 (3 + x) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x])}{{(3 + x)}^{2}}$

Schritt 1.2.4

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{2 (3 + x) x - x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [x])}{{(3 + x)}^{2}}$

Schritt 1.2.5

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 (3 + x) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x]}{{(3 + x)}^{2}}$

Schritt 1.2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{2 (3 + x) x - x^{2} \cdot 1}{{(3 + x)}^{2}}$

Schritt 1.2.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{2 (3 + x) x - x^{2}}{{(3 + x)}^{2}}$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(2 \cdot 3 + 2 x) x - x^{2}}{{(3 + x)}^{2}}$

Schritt 1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 \cdot 3 x + 2 x \cdot x - x^{2}}{{(3 + x)}^{2}}$

Schritt 1.3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.3.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{6 x + 2 x \cdot x - x^{2}}{{(3 + x)}^{2}}$

Schritt 1.3.3.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.3.3.1.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{6 x + 2 (x \cdot x) - x^{2}}{{(3 + x)}^{2}}$

Schritt 1.3.3.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{6 x + 2 x^{2} - x^{2}}{{(3 + x)}^{2}}$

Schritt 1.3.3.2

Subtrahiere $x^{2}$ von $2 x^{2}$ .

$\frac{6 x + x^{2}}{{(3 + x)}^{2}}$

Schritt 1.3.4

Stelle die Terme um.

$\frac{x^{2} + 6 x}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 1.3.5

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} + 6 x$ heraus.

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Schritt 1.3.5.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{x \cdot x + 6 x}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 1.3.5.2

Faktorisiere $x$ aus $6 x$ heraus.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 6}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 1.3.5.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x + x \cdot 6$ heraus.

$\frac{x (x + 6)}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 1.4

Bestimme die Ableitung bei $x = 1$ .

$\frac{(1) ((1) + 6)}{{((1) + 3)}^{2}}$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Mutltipliziere $1 + 6$ mit $1$ .

$\frac{1 + 6}{{(1 + 3)}^{2}}$

Schritt 1.5.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.5.2.1

Addiere $1$ und $3$ .

$\frac{1 + 6}{4^{2}}$

Schritt 1.5.2.2

Potenziere $4$ mit $2$ .

$\frac{1 + 6}{16}$

Schritt 1.5.3

Addiere $1$ und $6$ .

$\frac{7}{16}$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $\frac{7}{16}$ und einen gegebenen Punkt $(1, \frac{1}{4})$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (\frac{1}{4}) = \frac{7}{16} \cdot (x - (1))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - \frac{1}{4} = \frac{7}{16} \cdot (x - 1)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache $\frac{7}{16} \cdot (x - 1)$ .

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Schritt 2.3.1.1

Forme um.

$y - \frac{1}{4} = 0 + 0 + \frac{7}{16} \cdot (x - 1)$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y - \frac{1}{4} = \frac{7}{16} \cdot (x - 1)$

Schritt 2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - \frac{1}{4} = \frac{7}{16} x + \frac{7}{16} \cdot - 1$

Schritt 2.3.1.4

Kombiniere $\frac{7}{16}$ und $x$ .

$y - \frac{1}{4} = \frac{7 x}{16} + \frac{7}{16} \cdot - 1$

Schritt 2.3.1.5

Multipliziere $\frac{7}{16} \cdot - 1$ .

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Schritt 2.3.1.5.1

Kombiniere $\frac{7}{16}$ und $- 1$ .

$y - \frac{1}{4} = \frac{7 x}{16} + \frac{7 \cdot - 1}{16}$

Schritt 2.3.1.5.2

Mutltipliziere $7$ mit $- 1$ .

$y - \frac{1}{4} = \frac{7 x}{16} + \frac{- 7}{16}$

Schritt 2.3.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y - \frac{1}{4} = \frac{7 x}{16} - \frac{7}{16}$

Schritt 2.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.2.1

Addiere $\frac{1}{4}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = \frac{7 x}{16} - \frac{7}{16} + \frac{1}{4}$

Schritt 2.3.2.2

Um $\frac{1}{4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{7 x}{16} - \frac{7}{16} + \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{4}$

Schritt 2.3.2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $16$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.3.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{7 x}{16} - \frac{7}{16} + \frac{4}{4 \cdot 4}$

Schritt 2.3.2.3.2

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$y = \frac{7 x}{16} - \frac{7}{16} + \frac{4}{16}$

Schritt 2.3.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{7 x}{16} + \frac{- 7 + 4}{16}$

Schritt 2.3.2.5

Addiere $- 7$ und $4$ .

$y = \frac{7 x}{16} + \frac{- 3}{16}$

Schritt 2.3.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{7 x}{16} - \frac{3}{16}$

Schritt 2.3.3

Stelle die Terme um.

$y = \frac{7}{16} x - \frac{3}{16}$

Schritt 3