Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{1}{x}$ ; $x = 1$

Schritt 1

Bestimme den entsprechenden $y$ -Wert zu $x = 1$ .

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Schritt 1.1

Setze $1$ für $x$ ein.

$y = \frac{1}{1}$

Schritt 1.2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 1.2.1

Entferne die Klammern.

$y = \frac{1}{1}$

Schritt 1.2.2

Dividiere $1$ durch $1$ .

$y = 1$

Schritt 2

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 1$ und $y = 1$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 2.1

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$\frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- x^{- 2}$

Schritt 2.3

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 2.4

Bestimme die Ableitung bei $x = 1$ .

$- \frac{1}{{(1)}^{2}}$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- \frac{1}{1}$

Schritt 2.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

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Schritt 2.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{1}{1}$

Schritt 2.5.2.2

Forme den Ausdruck um.

$- 1 \cdot 1$

Schritt 2.5.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1$

Schritt 3

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 3.1

Benutze die Steigung $- 1$ und einen gegebenen Punkt $(1, 1)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (1) = - 1 \cdot (x - (1))$

Schritt 3.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - 1 = - 1 \cdot (x - 1)$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache $- 1 \cdot (x - 1)$ .

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Schritt 3.3.1.1

Forme um.

$y - 1 = 0 + 0 - 1 \cdot (x - 1)$

Schritt 3.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y - 1 = - 1 \cdot (x - 1)$

Schritt 3.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 1 = - 1 x - 1 \cdot - 1$

Schritt 3.3.1.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.3.1.4.1

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$y - 1 = - x - 1 \cdot - 1$

Schritt 3.3.1.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y - 1 = - x + 1$

Schritt 3.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = - x + 1 + 1$

Schritt 3.3.2.2

Addiere $1$ und $1$ .

$y = - x + 2$

Schritt 4