Analysis Beispiele

$f (x) = 3 \sqrt{x}$ at $(4, 6)$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 4$ und $y = 6$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 1.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Schritt 1.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Schritt 1.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 1.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$3 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 1.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$3 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Schritt 1.7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$3 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Schritt 1.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$3 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Schritt 1.9

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$3 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 1.10

Kombiniere $3$ und $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{3 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 1.11

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.12

Bestimme die Ableitung bei $x = 4$ .

$\frac{3}{2 {(4)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.13

Vereinfache.

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Schritt 1.13.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.13.1.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{3}{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.13.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(2^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 1.13.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}}$

Schritt 1.13.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.13.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3}{2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}}$

Schritt 1.13.1.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3}{2 \cdot 2^{1}}$

Schritt 1.13.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{3}{2^{1 + 1}}$

Schritt 1.13.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{3}{2^{2}}$

Schritt 1.13.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{3}{4}$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $\frac{3}{4}$ und einen gegebenen Punkt $(4, 6)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (6) = \frac{3}{4} \cdot (x - (4))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - 6 = \frac{3}{4} \cdot (x - 4)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache $\frac{3}{4} \cdot (x - 4)$ .

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Schritt 2.3.1.1

Forme um.

$y - 6 = 0 + 0 + \frac{3}{4} \cdot (x - 4)$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y - 6 = \frac{3}{4} \cdot (x - 4)$

Schritt 2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 6 = \frac{3}{4} x + \frac{3}{4} \cdot - 4$

Schritt 2.3.1.4

Kombiniere $\frac{3}{4}$ und $x$ .

$y - 6 = \frac{3 x}{4} + \frac{3}{4} \cdot - 4$

Schritt 2.3.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.3.1.5.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$y - 6 = \frac{3 x}{4} + \frac{3}{4} \cdot (4 (- 1))$

Schritt 2.3.1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y - 6 = \frac{3 x}{4} + \frac{3}{4} \cdot (4 \cdot - 1)$

Schritt 2.3.1.5.3

Forme den Ausdruck um.

$y - 6 = \frac{3 x}{4} + 3 \cdot - 1$

Schritt 2.3.1.6

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$y - 6 = \frac{3 x}{4} - 3$

Schritt 2.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.2.1

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = \frac{3 x}{4} - 3 + 6$

Schritt 2.3.2.2

Addiere $- 3$ und $6$ .

$y = \frac{3 x}{4} + 3$

Schritt 2.3.3

Stelle die Terme um.

$y = \frac{3}{4} x + 3$

Schritt 3