Analysis Beispiele

$y = 3^{x}$ , $(0, 1)$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 0$ und $y = 1$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $3$ .

$3^{x} \ln (3)$

Schritt 1.2

Bestimme die Ableitung bei $x = 0$ .

$3^{0} \ln (3)$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$1 \ln (3)$

Schritt 1.3.2

Mutltipliziere $\ln (3)$ mit $1$ .

$\ln (3)$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $\ln (3)$ und einen gegebenen Punkt $(0, 1)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (1) = \ln (3) \cdot (x - (0))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - 1 = \ln (3) \cdot (x + 0)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache $\ln (3) \cdot (x + 0)$ .

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Schritt 2.3.1.1

Addiere $x$ und $0$ .

$y - 1 = \ln (3) \cdot x$

Schritt 2.3.1.2

Stelle die Faktoren in $\ln (3) x$ um.

$y - 1 = x \ln (3)$

Schritt 2.3.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = x \ln (3) + 1$

Schritt 3