Analysis Beispiele

$f (x) = {(5 x + 1)}^{2}$ ;, $(0, 1)$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 0$ und $y = 1$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Schreibe ${(5 x + 1)}^{2}$ als $(5 x + 1) (5 x + 1)$ um.

$\frac{d}{d x} [(5 x + 1) (5 x + 1)]$

Schritt 1.2

Multipliziere $(5 x + 1) (5 x + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [5 x (5 x + 1) + 1 (5 x + 1)]$

Schritt 1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [5 x (5 x) + 5 x \cdot 1 + 1 (5 x + 1)]$

Schritt 1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [5 x (5 x) + 5 x \cdot 1 + 1 (5 x) + 1 \cdot 1]$

Schritt 1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{d}{d x} [5 \cdot 5 x \cdot x + 5 x \cdot 1 + 1 (5 x) + 1 \cdot 1]$

Schritt 1.3.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.3.1.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{d}{d x} [5 \cdot 5 (x \cdot x) + 5 x \cdot 1 + 1 (5 x) + 1 \cdot 1]$

Schritt 1.3.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{d}{d x} [5 \cdot 5 x^{2} + 5 x \cdot 1 + 1 (5 x) + 1 \cdot 1]$

Schritt 1.3.1.3

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$\frac{d}{d x} [25 x^{2} + 5 x \cdot 1 + 1 (5 x) + 1 \cdot 1]$

Schritt 1.3.1.4

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$\frac{d}{d x} [25 x^{2} + 5 x + 1 (5 x) + 1 \cdot 1]$

Schritt 1.3.1.5

Mutltipliziere $5 x$ mit $1$ .

$\frac{d}{d x} [25 x^{2} + 5 x + 5 x + 1 \cdot 1]$

Schritt 1.3.1.6

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\frac{d}{d x} [25 x^{2} + 5 x + 5 x + 1]$

Schritt 1.3.2

Addiere $5 x$ und $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [25 x^{2} + 10 x + 1]$

Schritt 1.4

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $25 x^{2} + 10 x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [25 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [25 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.5

Da $25$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $25 x^{2}$ nach $x$ gleich $25 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$25 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$25 (2 x) + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.7

Mutltipliziere $2$ mit $25$ .

$50 x + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.8

Da $10$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $10 x$ nach $x$ gleich $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$50 x + 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$50 x + 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.10

Mutltipliziere $10$ mit $1$ .

$50 x + 10 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.11

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$50 x + 10 + 0$

Schritt 1.12

Addiere $50 x + 10$ und $0$ .

$50 x + 10$

Schritt 1.13

Bestimme die Ableitung bei $x = 0$ .

$50 (0) + 10$

Schritt 1.14

Vereinfache.

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Schritt 1.14.1

Mutltipliziere $50$ mit $0$ .

$0 + 10$

Schritt 1.14.2

Addiere $0$ und $10$ .

$10$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $10$ und einen gegebenen Punkt $(0, 1)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (1) = 10 \cdot (x - (0))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - 1 = 10 \cdot (x + 0)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Addiere $x$ und $0$ .

$y - 1 = 10 x$

Schritt 2.3.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = 10 x + 1$

Schritt 3