Analysis Beispiele

$y = 8 x \sin (x)$ , $(\frac{π}{2}, 4 π)$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = \frac{π}{2}$ und $y = 4 π$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 x \sin (x)$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [x \sin (x)]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x \sin (x)]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = \sin (x)$ .

$8 (x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.3

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$8 (x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 1.4.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$8 (x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1)$

Schritt 1.4.2

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$8 (x \cos (x) + \sin (x))$

Schritt 1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$8 x \cos (x) + 8 \sin (x)$

Schritt 1.6

Bestimme die Ableitung bei $x = \frac{π}{2}$ .

$8 (\frac{π}{2}) \cos (\frac{π}{2}) + 8 \sin (\frac{π}{2})$

Schritt 1.7

Vereinfache.

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Schritt 1.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.7.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.7.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$2 (4) \frac{π}{2} \cos (\frac{π}{2}) + 8 \sin (\frac{π}{2})$

Schritt 1.7.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cdot 4 \frac{π}{2} \cos (\frac{π}{2}) + 8 \sin (\frac{π}{2})$

Schritt 1.7.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$4 π \cos (\frac{π}{2}) + 8 \sin (\frac{π}{2})$

Schritt 1.7.1.2

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{2})$ ist $0$ .

$4 π \cdot 0 + 8 \sin (\frac{π}{2})$

Schritt 1.7.1.3

Multipliziere $4 π \cdot 0$ .

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Schritt 1.7.1.3.1

Mutltipliziere $0$ mit $4$ .

$0 π + 8 \sin (\frac{π}{2})$

Schritt 1.7.1.3.2

Mutltipliziere $0$ mit $π$ .

$0 + 8 \sin (\frac{π}{2})$

Schritt 1.7.1.4

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$0 + 8 \cdot 1$

Schritt 1.7.1.5

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$0 + 8$

Schritt 1.7.2

Addiere $0$ und $8$ .

$8$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $8$ und einen gegebenen Punkt $(\frac{π}{2}, 4 π)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (4 π) = 8 \cdot (x - (\frac{π}{2}))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - 4 π = 8 \cdot (x - \frac{π}{2})$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache $8 \cdot (x - \frac{π}{2})$ .

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Schritt 2.3.1.1

Forme um.

$y - 4 π = 0 + 0 + 8 \cdot (x - \frac{π}{2})$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y - 4 π = 8 \cdot (x - \frac{π}{2})$

Schritt 2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 4 π = 8 x + 8 (- \frac{π}{2})$

Schritt 2.3.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.1.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{π}{2}$ in den Zähler.

$y - 4 π = 8 x + 8 \frac{- π}{2}$

Schritt 2.3.1.4.2

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$y - 4 π = 8 x + 2 (4) \frac{- π}{2}$

Schritt 2.3.1.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y - 4 π = 8 x + 2 \cdot 4 \frac{- π}{2}$

Schritt 2.3.1.4.4

Forme den Ausdruck um.

$y - 4 π = 8 x + 4 (- π)$

Schritt 2.3.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$y - 4 π = 8 x - 4 π$

Schritt 2.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.2.1

Addiere $4 π$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = 8 x - 4 π + 4 π$

Schritt 2.3.2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $8 x - 4 π + 4 π$ .

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Schritt 2.3.2.2.1

Addiere $- 4 π$ und $4 π$ .

$y = 8 x + 0$

Schritt 2.3.2.2.2

Addiere $8 x$ und $0$ .

$y = 8 x$

Schritt 3