Analysis Beispiele

$f (x) = 9 - x^{2}$ , $(3, 0)$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 3$ und $y = 0$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $9 - x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 1.1.2

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$0 - 2 x$

Schritt 1.3

Subtrahiere $2 x$ von $0$ .

$- 2 x$

Schritt 1.4

Bestimme die Ableitung bei $x = 3$ .

$- 2 \cdot 3$

Schritt 1.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$- 6$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $- 6$ und einen gegebenen Punkt $(3, 0)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (0) = - 6 \cdot (x - (3))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y + 0 = - 6 \cdot (x - 3)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Addiere $y$ und $0$ .

$y = - 6 \cdot (x - 3)$

Schritt 2.3.2

Vereinfache $- 6 \cdot (x - 3)$ .

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Schritt 2.3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = - 6 x - 6 \cdot - 3$

Schritt 2.3.2.2

Mutltipliziere $- 6$ mit $- 3$ .

$y = - 6 x + 18$

Schritt 3