Analysis Beispiele

$f (x) = \ln^{2} (x)$ at $x = 2$

Schritt 1

Bestimme den entsprechenden $y$ -Wert zu $x = 2$ .

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Schritt 1.1

Setze $2$ für $x$ ein.

$y = \ln ({(2)}^{2})$

Schritt 1.2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 1.2.1

Entferne die Klammern.

$y = \ln (2^{2})$

Schritt 1.2.2

Entferne die Klammern.

$y = \ln ({(2)}^{2})$

Schritt 1.2.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$y = \ln (4)$

Schritt 2

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 2$ und $y = \ln (4)$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = {(x)}^{2}$ .

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Schritt 2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch ${(x)}^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [{(x)}^{2}]$

Schritt 2.1.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [{(x)}^{2}]$

Schritt 2.1.3

Ersetze alle $u$ durch ${(x)}^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2}} (2 x)$

Schritt 2.2.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.2.2.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{2}{x^{2}} x$

Schritt 2.2.2.2

Kombiniere $\frac{2}{x^{2}}$ und $x$ .

$\frac{2 x}{x^{2}}$

Schritt 2.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{2}$ .

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Schritt 2.2.2.3.1

Faktorisiere $x$ aus $2 x$ heraus.

$\frac{x \cdot 2}{x^{2}}$

Schritt 2.2.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.2.3.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{x \cdot 2}{x \cdot x}$

Schritt 2.2.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \cdot 2}{x \cdot x}$

Schritt 2.2.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{x}$

Schritt 2.3

Bestimme die Ableitung bei $x = 2$ .

$\frac{2}{2}$

Schritt 2.4

Dividiere $2$ durch $2$ .

$1$

Schritt 3

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 3.1

Benutze die Steigung $1$ und einen gegebenen Punkt $(2, \ln (4))$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (\ln (4)) = 1 \cdot (x - (2))$

Schritt 3.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - \ln (4) = 1 \cdot (x - 2)$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.1

Mutltipliziere $x - 2$ mit $1$ .

$y - \ln (4) = x - 2$

Schritt 3.3.2

Addiere $\ln (4)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = x - 2 + \ln (4)$

Schritt 4