Analysis Beispiele

$f (x) = \ln^{4} (x)$ at $x = 8$

Schritt 1

Bestimme den entsprechenden $y$ -Wert zu $x = 8$ .

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Schritt 1.1

Setze $8$ für $x$ ein.

$y = \ln ({(8)}^{4})$

Schritt 1.2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 1.2.1

Entferne die Klammern.

$y = \ln (8^{4})$

Schritt 1.2.2

Entferne die Klammern.

$y = \ln ({(8)}^{4})$

Schritt 1.2.3

Potenziere $8$ mit $4$ .

$y = \ln (4096)$

Schritt 2

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 8$ und $y = \ln (4096)$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = {(x)}^{4}$ .

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Schritt 2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch ${(x)}^{4}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [{(x)}^{4}]$

Schritt 2.1.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [{(x)}^{4}]$

Schritt 2.1.3

Ersetze alle $u$ durch ${(x)}^{4}$ .

$\frac{1}{x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$\frac{1}{x^{4}} (4 x^{3})$

Schritt 2.2.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.2.2.1

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{4}{x^{4}} x^{3}$

Schritt 2.2.2.2

Kombiniere $\frac{4}{x^{4}}$ und $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3}}{x^{4}}$

Schritt 2.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{3}$ und $x^{4}$ .

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Schritt 2.2.2.3.1

Faktorisiere $x^{3}$ aus $4 x^{3}$ heraus.

$\frac{x^{3} \cdot 4}{x^{4}}$

Schritt 2.2.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.2.3.2.1

Faktorisiere $x^{3}$ aus $x^{4}$ heraus.

$\frac{x^{3} \cdot 4}{x^{3} x}$

Schritt 2.2.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{3} \cdot 4}{x^{3} x}$

Schritt 2.2.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4}{x}$

Schritt 2.3

Bestimme die Ableitung bei $x = 8$ .

$\frac{4}{8}$

Schritt 2.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $8$ .

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Schritt 2.4.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$\frac{4 (1)}{8}$

Schritt 2.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.4.2.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}$

Schritt 2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}$

Schritt 2.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2}$

Schritt 3

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 3.1

Benutze die Steigung $\frac{1}{2}$ und einen gegebenen Punkt $(8, \ln (4096))$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (\ln (4096)) = \frac{1}{2} \cdot (x - (8))$

Schritt 3.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - \ln (4096) = \frac{1}{2} \cdot (x - 8)$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache $\frac{1}{2} \cdot (x - 8)$ .

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Schritt 3.3.1.1

Forme um.

$y - \ln (4096) = 0 + 0 + \frac{1}{2} \cdot (x - 8)$

Schritt 3.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y - \ln (4096) = \frac{1}{2} \cdot (x - 8)$

Schritt 3.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - \ln (4096) = \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \cdot - 8$

Schritt 3.3.1.4

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x$ .

$y - \ln (4096) = \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot - 8$

Schritt 3.3.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.1.5.1

Faktorisiere $2$ aus $- 8$ heraus.

$y - \ln (4096) = \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot (2 (- 4))$

Schritt 3.3.1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y - \ln (4096) = \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 4)$

Schritt 3.3.1.5.3

Forme den Ausdruck um.

$y - \ln (4096) = \frac{x}{2} - 4$

Schritt 3.3.2

Addiere $\ln (4096)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = \frac{x}{2} - 4 + \ln (4096)$

Schritt 3.3.3

Stelle die Terme um.

$y = \frac{1}{2} x - 4 + \ln (4096)$

Schritt 4