Analysis Beispiele

$f (x) = x \sin (10 x)$ at $x = π$

Schritt 1

Bestimme den entsprechenden $y$ -Wert zu $x = π$ .

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Schritt 1.1

Setze $π$ für $x$ ein.

$y = (π) \sin (10 (π))$

Schritt 1.2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 1.2.1

Multipliziere $10$ mit $π$ .

$y = π \sin (10 π)$

Schritt 1.2.2

Entferne die Klammern.

$y = (π) \sin (10 (π))$

Schritt 1.2.3

Vereinfache $(π) \sin (10 (π))$ .

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Schritt 1.2.3.1

Subtrahiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$y = π \sin (0)$

Schritt 1.2.3.2

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$y = π \cdot 0$

Schritt 1.2.3.3

Mutltipliziere $π$ mit $0$ .

$y = 0$

Schritt 2

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = π$ und $y = 0$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = \sin (10 x)$ .

$x \frac{d}{d x} [\sin (10 x)] + \sin (10 x) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 10 x$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $10 x$ .

$x (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [10 x]) + \sin (10 x) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$x (\cos (u) \frac{d}{d x} [10 x]) + \sin (10 x) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $10 x$ .

$x (\cos (10 x) \frac{d}{d x} [10 x]) + \sin (10 x) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3

Differenziere.

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Schritt 2.3.1

Da $10$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $10 x$ nach $x$ gleich $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (\cos (10 x) (10 \frac{d}{d x} [x])) + \sin (10 x) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x (\cos (10 x) (10 \cdot 1)) + \sin (10 x) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.3.1

Mutltipliziere $10$ mit $1$ .

$x (\cos (10 x) \cdot 10) + \sin (10 x) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.3.2

Bringe $10$ auf die linke Seite von $\cos (10 x)$ .

$x (10 \cdot \cos (10 x)) + \sin (10 x) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x (10 \cos (10 x)) + \sin (10 x) \cdot 1$

Schritt 2.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.5.1

Mutltipliziere $\sin (10 x)$ mit $1$ .

$x (10 \cos (10 x)) + \sin (10 x)$

Schritt 2.3.5.2

Stelle die Terme um.

$10 x \cos (10 x) + \sin (10 x)$

Schritt 2.4

Bestimme die Ableitung bei $x = π$ .

$10 (π) \cos (10 (π)) + \sin (10 (π))$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.5.1.1

Subtrahiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$10 π \cos (0) + \sin (10 (π))$

Schritt 2.5.1.2

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$10 π \cdot 1 + \sin (10 (π))$

Schritt 2.5.1.3

Mutltipliziere $10$ mit $1$ .

$10 π + \sin (10 (π))$

Schritt 2.5.1.4

Subtrahiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$10 π + \sin (0)$

Schritt 2.5.1.5

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$10 π + 0$

Schritt 2.5.2

Addiere $10 π$ und $0$ .

$10 π$

Schritt 3

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 3.1

Benutze die Steigung $10 π$ und einen gegebenen Punkt $(π, 0)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (0) = 10 π \cdot (x - (π))$

Schritt 3.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y + 0 = 10 π \cdot (x - π)$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.1

Addiere $y$ und $0$ .

$y = 10 π \cdot (x - π)$

Schritt 3.3.2

Vereinfache $10 π \cdot (x - π)$ .

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Schritt 3.3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = 10 π x + 10 π (- π)$

Schritt 3.3.2.2

Multipliziere $10 π (- π)$ .

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Schritt 3.3.2.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $10$ .

$y = 10 π x - 10 π π$

Schritt 3.3.2.2.2

Potenziere $π$ mit $1$ .

$y = 10 π x - 10 (π^{1} π)$

Schritt 3.3.2.2.3

Potenziere $π$ mit $1$ .

$y = 10 π x - 10 (π^{1} π^{1})$

Schritt 3.3.2.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = 10 π x - 10 π^{1 + 1}$

Schritt 3.3.2.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$y = 10 π x - 10 π^{2}$

Schritt 4