Analysis Beispiele

$y = e^{3 x}$ at $x = \frac{1}{3} \ln (5)$

Schritt 1

Bestimme den entsprechenden $y$ -Wert zu $x = \frac{1}{3} \cdot \ln (5)$ .

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Schritt 1.1

Setze $\frac{1}{3} \cdot \ln (5)$ für $x$ ein.

$y = e^{3 (\frac{1}{3} \cdot \ln (5))}$

Schritt 1.2

Vereinfache $e^{3 (\frac{1}{3} \cdot \ln (5))}$ .

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Schritt 1.2.1

Vereinfache $\frac{1}{3} \ln (5)$ , indem du $\frac{1}{3}$ in den Logarithmus ziehst.

$y = e^{3 \ln (5^{\frac{1}{3}})}$

Schritt 1.2.2

Vereinfache $3 \ln (5^{\frac{1}{3}})$ , indem du $3$ in den Logarithmus ziehst.

$y = e^{\ln ({(5^{\frac{1}{3}})}^{3})}$

Schritt 1.2.3

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$y = {(5^{\frac{1}{3}})}^{3}$

Schritt 1.2.4

Multipliziere die Exponenten in ${(5^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 1.2.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = 5^{\frac{1}{3} \cdot 3}$

Schritt 1.2.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = 5^{\frac{1}{3} \cdot 3}$

Schritt 1.2.4.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y = 5^{1}$

Schritt 1.2.5

Berechne den Exponenten.

$y = 5$

Schritt 2

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = \frac{1}{3} \ln (5)$ und $y = 5$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 3 x$ .

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Schritt 2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 x$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [3 x]$

Schritt 2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $3 x$ .

$e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]$

Schritt 2.2

Differenziere.

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Schritt 2.2.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{3 x} (3 \cdot 1)$

Schritt 2.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.3.1

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$e^{3 x} \cdot 3$

Schritt 2.2.3.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $e^{3 x}$ .

$3 e^{3 x}$

Schritt 2.3

Bestimme die Ableitung bei $x = \frac{1}{3} \cdot \ln (5)$ .

$3 e^{3 (\frac{1}{3} \cdot \ln (5))}$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Vereinfache $\frac{1}{3} \ln (5)$ , indem du $\frac{1}{3}$ in den Logarithmus ziehst.

$3 e^{3 \ln (5^{\frac{1}{3}})}$

Schritt 2.4.2

Vereinfache $3 \ln (5^{\frac{1}{3}})$ , indem du $3$ in den Logarithmus ziehst.

$3 e^{\ln ({(5^{\frac{1}{3}})}^{3})}$

Schritt 2.4.3

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$3 {(5^{\frac{1}{3}})}^{3}$

Schritt 2.4.4

Multipliziere die Exponenten in ${(5^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 2.4.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \cdot 5^{\frac{1}{3} \cdot 3}$

Schritt 2.4.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.4.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \cdot 5^{\frac{1}{3} \cdot 3}$

Schritt 2.4.4.2.2

Forme den Ausdruck um.

$3 \cdot 5^{1}$

Schritt 2.4.5

Berechne den Exponenten.

$3 \cdot 5$

Schritt 2.4.6

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$15$

Schritt 3

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 3.1

Benutze die Steigung $15$ und einen gegebenen Punkt $(\frac{1}{3} \cdot \ln (5), 5)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (5) = 15 \cdot (x - (\frac{1}{3} \cdot \ln (5)))$

Schritt 3.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - 5 = 15 \cdot (x - \ln (5^{\frac{1}{3}}))$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache $15 \cdot (x - \ln (5^{\frac{1}{3}}))$ .

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Schritt 3.3.1.1

Forme um.

$y - 5 = 0 + 0 + 15 \cdot (x - \ln (5^{\frac{1}{3}}))$

Schritt 3.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y - 5 = 15 \cdot (x - \ln (5^{\frac{1}{3}}))$

Schritt 3.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 5 = 15 x + 15 (- \ln (5^{\frac{1}{3}}))$

Schritt 3.3.1.4

Multipliziere $15 (- \ln (5^{\frac{1}{3}}))$ .

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Schritt 3.3.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $15$ .

$y - 5 = 15 x - 15 \ln (5^{\frac{1}{3}})$

Schritt 3.3.1.4.2

Vereinfache $- 15 \ln (5^{\frac{1}{3}})$ , indem du $15$ in den Logarithmus ziehst.

$y - 5 = 15 x - \ln ({(5^{\frac{1}{3}})}^{15})$

Schritt 3.3.1.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.5.1

Multipliziere die Exponenten in ${(5^{\frac{1}{3}})}^{15}$ .

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Schritt 3.3.1.5.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y - 5 = 15 x - \ln (5^{\frac{1}{3} \cdot 15})$

Schritt 3.3.1.5.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.3.1.5.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $15$ heraus.

$y - 5 = 15 x - \ln (5^{\frac{1}{3} \cdot (3 (5))})$

Schritt 3.3.1.5.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y - 5 = 15 x - \ln (5^{\frac{1}{3} \cdot (3 \cdot 5)})$

Schritt 3.3.1.5.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y - 5 = 15 x - \ln (5^{5})$

Schritt 3.3.1.5.2

Potenziere $5$ mit $5$ .

$y - 5 = 15 x - \ln (3125)$

Schritt 3.3.2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = 15 x - \ln (3125) + 5$

Schritt 4