Analysis Beispiele

$g (x) = \frac{7 x}{x - 3}$ at $(6, 14)$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 6$ und $y = 14$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{7 x}{x - 3}$ nach $x$ gleich $7 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x - 3}]$ .

$7 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x - 3}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = x - 3$ .

$7 \frac{(x - 3) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 1.3

Differenziere.

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Schritt 1.3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$7 \frac{(x - 3) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 1.3.2

Mutltipliziere $x - 3$ mit $1$ .

$7 \frac{x - 3 - x \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 1.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$7 \frac{x - 3 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 1.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$7 \frac{x - 3 - x (1 + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 1.3.5

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$7 \frac{x - 3 - x (1 + 0)}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 1.3.6

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.3.6.1

Addiere $1$ und $0$ .

$7 \frac{x - 3 - x \cdot 1}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 1.3.6.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$7 \frac{x - 3 - x}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 1.3.6.3

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$7 \frac{0 - 3}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 1.3.6.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.3.6.4.1

Subtrahiere $3$ von $0$ .

$7 \frac{- 3}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 1.3.6.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$7 (- \frac{3}{{(x - 3)}^{2}})$

Schritt 1.3.6.4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $7$ .

$- 7 \frac{3}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 1.3.6.5

Kombiniere $- 7$ und $\frac{3}{{(x - 3)}^{2}}$ .

$\frac{- 7 \cdot 3}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 1.3.6.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.3.6.6.1

Mutltipliziere $- 7$ mit $3$ .

$\frac{- 21}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 1.3.6.6.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{21}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 1.4

Bestimme die Ableitung bei $x = 6$ .

$- \frac{21}{{((6) - 3)}^{2}}$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.5.1.1

Subtrahiere $3$ von $6$ .

$- \frac{21}{3^{2}}$

Schritt 1.5.1.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$- \frac{21}{9}$

Schritt 1.5.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $21$ und $9$ .

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Schritt 1.5.2.1

Faktorisiere $3$ aus $21$ heraus.

$- \frac{3 (7)}{9}$

Schritt 1.5.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.5.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$- \frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 3}$

Schritt 1.5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 3}$

Schritt 1.5.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{7}{3}$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $- \frac{7}{3}$ und einen gegebenen Punkt $(6, 14)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (14) = - \frac{7}{3} \cdot (x - (6))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - 14 = - \frac{7}{3} \cdot (x - 6)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache $- \frac{7}{3} \cdot (x - 6)$ .

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Schritt 2.3.1.1

Forme um.

$y - 14 = 0 + 0 - \frac{7}{3} \cdot (x - 6)$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 14 = - \frac{7}{3} x - \frac{7}{3} \cdot - 6$

Schritt 2.3.1.2.2

Kombiniere $x$ und $\frac{7}{3}$ .

$y - 14 = - \frac{x \cdot 7}{3} - \frac{7}{3} \cdot - 6$

Schritt 2.3.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.3.1.2.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{7}{3}$ in den Zähler.

$y - 14 = - \frac{x \cdot 7}{3} + \frac{- 7}{3} \cdot - 6$

Schritt 2.3.1.2.3.2

Faktorisiere $3$ aus $- 6$ heraus.

$y - 14 = - \frac{x \cdot 7}{3} + \frac{- 7}{3} \cdot (3 (- 2))$

Schritt 2.3.1.2.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y - 14 = - \frac{x \cdot 7}{3} + \frac{- 7}{3} \cdot (3 \cdot - 2)$

Schritt 2.3.1.2.3.4

Forme den Ausdruck um.

$y - 14 = - \frac{x \cdot 7}{3} - 7 \cdot - 2$

Schritt 2.3.1.2.4

Mutltipliziere $- 7$ mit $- 2$ .

$y - 14 = - \frac{x \cdot 7}{3} + 14$

Schritt 2.3.1.3

Bringe $7$ auf die linke Seite von $x$ .

$y - 14 = - \frac{7 x}{3} + 14$

Schritt 2.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.2.1

Addiere $14$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = - \frac{7 x}{3} + 14 + 14$

Schritt 2.3.2.2

Addiere $14$ und $14$ .

$y = - \frac{7 x}{3} + 28$

Schritt 2.3.3

Schreibe in $y = m x + b$ -Form.

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Schritt 2.3.3.1

Stelle die Terme um.

$y = - (\frac{7}{3} x) + 28$

Schritt 2.3.3.2

Entferne die Klammern.

$y = - \frac{7}{3} x + 28$

Schritt 3