Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{4}{x}$ at $(9, \frac{4}{9})$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 9$ und $y = \frac{4}{9}$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{4}{x}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 1.2

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$4 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Schritt 1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$4 (- x^{- 2})$

Schritt 1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$- 4 x^{- 2}$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 4 \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 1.5.2

Vereine die Terme

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Schritt 1.5.2.1

Kombiniere $- 4$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{- 4}{x^{2}}$

Schritt 1.5.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{4}{x^{2}}$

Schritt 1.6

Bestimme die Ableitung bei $x = 9$ .

$- \frac{4}{{(9)}^{2}}$

Schritt 1.7

Potenziere $9$ mit $2$ .

$- \frac{4}{81}$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $- \frac{4}{81}$ und einen gegebenen Punkt $(9, \frac{4}{9})$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (\frac{4}{9}) = - \frac{4}{81} \cdot (x - (9))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - \frac{4}{9} = - \frac{4}{81} \cdot (x - 9)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache $- \frac{4}{81} \cdot (x - 9)$ .

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Schritt 2.3.1.1

Forme um.

$y - \frac{4}{9} = 0 + 0 - \frac{4}{81} \cdot (x - 9)$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y - \frac{4}{9} = - \frac{4}{81} x - \frac{4}{81} \cdot - 9$

Schritt 2.3.1.2.2

Kombiniere $x$ und $\frac{4}{81}$ .

$y - \frac{4}{9} = - \frac{x \cdot 4}{81} - \frac{4}{81} \cdot - 9$

Schritt 2.3.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 2.3.1.2.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{4}{81}$ in den Zähler.

$y - \frac{4}{9} = - \frac{x \cdot 4}{81} + \frac{- 4}{81} \cdot - 9$

Schritt 2.3.1.2.3.2

Faktorisiere $9$ aus $81$ heraus.

$y - \frac{4}{9} = - \frac{x \cdot 4}{81} + \frac{- 4}{9 (9)} \cdot - 9$

Schritt 2.3.1.2.3.3

Faktorisiere $9$ aus $- 9$ heraus.

$y - \frac{4}{9} = - \frac{x \cdot 4}{81} + \frac{- 4}{9 \cdot 9} \cdot (9 \cdot - 1)$

Schritt 2.3.1.2.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y - \frac{4}{9} = - \frac{x \cdot 4}{81} + \frac{- 4}{9 \cdot 9} \cdot (9 \cdot - 1)$

Schritt 2.3.1.2.3.5

Forme den Ausdruck um.

$y - \frac{4}{9} = - \frac{x \cdot 4}{81} + \frac{- 4}{9} \cdot - 1$

Schritt 2.3.1.2.4

Kombiniere $\frac{- 4}{9}$ und $- 1$ .

$y - \frac{4}{9} = - \frac{x \cdot 4}{81} + \frac{- 4 \cdot - 1}{9}$

Schritt 2.3.1.2.5

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$y - \frac{4}{9} = - \frac{x \cdot 4}{81} + \frac{4}{9}$

Schritt 2.3.1.3

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x$ .

$y - \frac{4}{9} = - \frac{4 x}{81} + \frac{4}{9}$

Schritt 2.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.2.1

Addiere $\frac{4}{9}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = - \frac{4 x}{81} + \frac{4}{9} + \frac{4}{9}$

Schritt 2.3.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{- 4 x}{81} + \frac{4 + 4}{9}$

Schritt 2.3.2.3

Addiere $4$ und $4$ .

$y = \frac{- 4 x}{81} + \frac{8}{9}$

Schritt 2.3.2.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{4 x}{81} + \frac{8}{9}$

Schritt 2.3.3

Schreibe in $y = m x + b$ -Form.

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Schritt 2.3.3.1

Stelle die Terme um.

$y = - (\frac{4}{81} x) + \frac{8}{9}$

Schritt 2.3.3.2

Entferne die Klammern.

$y = - \frac{4}{81} x + \frac{8}{9}$

Schritt 3