Analysis Beispiele

$y = x^{4} - 3 x^{2} + 8$ at $x = 1$

Schritt 1

Bestimme den entsprechenden $y$ -Wert zu $x = 1$ .

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Schritt 1.1

Setze $1$ für $x$ ein.

$y = {(1)}^{4} - 3 {(1)}^{2} + 8$

Schritt 1.2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 1.2.1

Entferne die Klammern.

$y = 1^{4} - 3 {(1)}^{2} + 8$

Schritt 1.2.2

Entferne die Klammern.

$y = 1^{4} - 3 \cdot 1^{2} + 8$

Schritt 1.2.3

Entferne die Klammern.

$y = {(1)}^{4} - 3 {(1)}^{2} + 8$

Schritt 1.2.4

Vereinfache ${(1)}^{4} - 3 {(1)}^{2} + 8$ .

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Schritt 1.2.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.4.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$y = 1 - 3 {(1)}^{2} + 8$

Schritt 1.2.4.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$y = 1 - 3 \cdot 1 + 8$

Schritt 1.2.4.1.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$y = 1 - 3 + 8$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 1.2.4.2.1

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$y = - 2 + 8$

Schritt 1.2.4.2.2

Addiere $- 2$ und $8$ .

$y = 6$

Schritt 2

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 1$ und $y = 6$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 2.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} - 3 x^{2} + 8$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$4 x^{3} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$4 x^{3} - 6 x + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.3.1

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$4 x^{3} - 6 x + 0$

Schritt 2.3.2

Addiere $4 x^{3} - 6 x$ und $0$ .

$4 x^{3} - 6 x$

Schritt 2.4

Bestimme die Ableitung bei $x = 1$ .

$4 {(1)}^{3} - 6 \cdot 1$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.5.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$4 \cdot 1 - 6 \cdot 1$

Schritt 2.5.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$4 - 6 \cdot 1$

Schritt 2.5.1.3

Mutltipliziere $- 6$ mit $1$ .

$4 - 6$

Schritt 2.5.2

Subtrahiere $6$ von $4$ .

$- 2$

Schritt 3

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 3.1

Benutze die Steigung $- 2$ und einen gegebenen Punkt $(1, 6)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (6) = - 2 \cdot (x - (1))$

Schritt 3.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - 6 = - 2 \cdot (x - 1)$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache $- 2 \cdot (x - 1)$ .

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Schritt 3.3.1.1

Forme um.

$y - 6 = 0 + 0 - 2 \cdot (x - 1)$

Schritt 3.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y - 6 = - 2 \cdot (x - 1)$

Schritt 3.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 6 = - 2 x - 2 \cdot - 1$

Schritt 3.3.1.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$y - 6 = - 2 x + 2$

Schritt 3.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.2.1

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = - 2 x + 2 + 6$

Schritt 3.3.2.2

Addiere $2$ und $6$ .

$y = - 2 x + 8$

Schritt 4