Analysis Beispiele

$f (x) = (- 5 x^{2} + 5 x - 2) (- 2 x + 3)$ , $x = 0$

Schritt 1

Bestimme den entsprechenden $y$ -Wert zu $x = 0$ .

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Schritt 1.1

Setze $0$ für $x$ ein.

$y = (- 5 {(0)}^{2} + 5 (0) - 2) (- 2 \cdot 0 + 3)$

Schritt 1.2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 1.2.1

Entferne die Klammern.

$y = (- 5 \cdot 0^{2} + 5 (0) - 2) (- 2 \cdot 0 + 3)$

Schritt 1.2.2

Entferne die Klammern.

$y = (- 5 {(0)}^{2} + 5 (0) - 2) (- 2 \cdot 0 + 3)$

Schritt 1.2.3

Vereinfache $(- 5 {(0)}^{2} + 5 (0) - 2) (- 2 \cdot 0 + 3)$ .

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Schritt 1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.3.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = (- 5 \cdot 0 + 5 (0) - 2) (- 2 \cdot 0 + 3)$

Schritt 1.2.3.1.2

Mutltipliziere $- 5$ mit $0$ .

$y = (0 + 5 (0) - 2) (- 2 \cdot 0 + 3)$

Schritt 1.2.3.1.3

Mutltipliziere $5$ mit $0$ .

$y = (0 + 0 - 2) (- 2 \cdot 0 + 3)$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.2.3.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$y = (0 - 2) (- 2 \cdot 0 + 3)$

Schritt 1.2.3.2.2

Subtrahiere $2$ von $0$ .

$y = - 2 (- 2 \cdot 0 + 3)$

Schritt 1.2.3.2.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $0$ .

$y = - 2 (0 + 3)$

Schritt 1.2.3.2.4

Addiere $0$ und $3$ .

$y = - 2 \cdot 3$

Schritt 1.2.3.2.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$y = - 6$

Schritt 2

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 0$ und $y = - 6$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = - 5 x^{2} + 5 x - 2$ und $g (x) = - 2 x + 3$ .

$(- 5 x^{2} + 5 x - 2) \frac{d}{d x} [- 2 x + 3] + (- 2 x + 3) \frac{d}{d x} [- 5 x^{2} + 5 x - 2]$

Schritt 2.2

Differenziere.

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Schritt 2.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 2 x + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$(- 5 x^{2} + 5 x - 2) (\frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [3]) + (- 2 x + 3) \frac{d}{d x} [- 5 x^{2} + 5 x - 2]$

Schritt 2.2.2

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(- 5 x^{2} + 5 x - 2) (- 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + (- 2 x + 3) \frac{d}{d x} [- 5 x^{2} + 5 x - 2]$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(- 5 x^{2} + 5 x - 2) (- 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]) + (- 2 x + 3) \frac{d}{d x} [- 5 x^{2} + 5 x - 2]$

Schritt 2.2.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$(- 5 x^{2} + 5 x - 2) (- 2 + \frac{d}{d x} [3]) + (- 2 x + 3) \frac{d}{d x} [- 5 x^{2} + 5 x - 2]$

Schritt 2.2.5

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(- 5 x^{2} + 5 x - 2) (- 2 + 0) + (- 2 x + 3) \frac{d}{d x} [- 5 x^{2} + 5 x - 2]$

Schritt 2.2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.6.1

Addiere $- 2$ und $0$ .

$(- 5 x^{2} + 5 x - 2) \cdot - 2 + (- 2 x + 3) \frac{d}{d x} [- 5 x^{2} + 5 x - 2]$

Schritt 2.2.6.2

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $- 5 x^{2} + 5 x - 2$ .

$- 2 \cdot (- 5 x^{2} + 5 x - 2) + (- 2 x + 3) \frac{d}{d x} [- 5 x^{2} + 5 x - 2]$

Schritt 2.2.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 5 x^{2} + 5 x - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$- 2 (- 5 x^{2} + 5 x - 2) + (- 2 x + 3) (\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

Schritt 2.2.8

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 2 (- 5 x^{2} + 5 x - 2) + (- 2 x + 3) (- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

Schritt 2.2.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 2 (- 5 x^{2} + 5 x - 2) + (- 2 x + 3) (- 5 (2 x) + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

Schritt 2.2.10

Mutltipliziere $2$ mit $- 5$ .

$- 2 (- 5 x^{2} + 5 x - 2) + (- 2 x + 3) (- 10 x + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

Schritt 2.2.11

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 (- 5 x^{2} + 5 x - 2) + (- 2 x + 3) (- 10 x + 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

Schritt 2.2.12

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 2 (- 5 x^{2} + 5 x - 2) + (- 2 x + 3) (- 10 x + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2])$

Schritt 2.2.13

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$- 2 (- 5 x^{2} + 5 x - 2) + (- 2 x + 3) (- 10 x + 5 + \frac{d}{d x} [- 2])$

Schritt 2.2.14

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 2 (- 5 x^{2} + 5 x - 2) + (- 2 x + 3) (- 10 x + 5 + 0)$

Schritt 2.2.15

Addiere $- 10 x + 5$ und $0$ .

$- 2 (- 5 x^{2} + 5 x - 2) + (- 2 x + 3) (- 10 x + 5)$

Schritt 2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 2 (- 5 x^{2}) - 2 (5 x) - 2 \cdot - 2 + (- 2 x + 3) (- 10 x + 5)$

Schritt 2.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- 2 (- 5 x^{2}) - 2 (5 x) - 2 \cdot - 2 + (- 2 x + 3) (- 10 x) + (- 2 x + 3) \cdot 5$

Schritt 2.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- 2 (- 5 x^{2}) - 2 (5 x) - 2 \cdot - 2 - 2 x (- 10 x) + 3 (- 10 x) + (- 2 x + 3) \cdot 5$

Schritt 2.3.4

Wende das Distributivgesetz an.

$- 2 (- 5 x^{2}) - 2 (5 x) - 2 \cdot - 2 - 2 x (- 10 x) + 3 (- 10 x) - 2 x \cdot 5 + 3 \cdot 5$

Schritt 2.3.5

Vereine die Terme

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Schritt 2.3.5.1

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 2$ .

$10 x^{2} - 2 (5 x) - 2 \cdot - 2 - 2 x (- 10 x) + 3 (- 10 x) - 2 x \cdot 5 + 3 \cdot 5$

Schritt 2.3.5.2

Mutltipliziere $5$ mit $- 2$ .

$10 x^{2} - 10 x - 2 \cdot - 2 - 2 x (- 10 x) + 3 (- 10 x) - 2 x \cdot 5 + 3 \cdot 5$

Schritt 2.3.5.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$10 x^{2} - 10 x + 4 - 2 x (- 10 x) + 3 (- 10 x) - 2 x \cdot 5 + 3 \cdot 5$

Schritt 2.3.5.4

Mutltipliziere $- 10$ mit $- 2$ .

$10 x^{2} - 10 x + 4 + 20 x \cdot x + 3 (- 10 x) - 2 x \cdot 5 + 3 \cdot 5$

Schritt 2.3.5.5

Potenziere $x$ mit $1$ .

$10 x^{2} - 10 x + 4 + 20 (x^{1} x) + 3 (- 10 x) - 2 x \cdot 5 + 3 \cdot 5$

Schritt 2.3.5.6

Potenziere $x$ mit $1$ .

$10 x^{2} - 10 x + 4 + 20 (x^{1} x^{1}) + 3 (- 10 x) - 2 x \cdot 5 + 3 \cdot 5$

Schritt 2.3.5.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$10 x^{2} - 10 x + 4 + 20 x^{1 + 1} + 3 (- 10 x) - 2 x \cdot 5 + 3 \cdot 5$

Schritt 2.3.5.8

Addiere $1$ und $1$ .

$10 x^{2} - 10 x + 4 + 20 x^{2} + 3 (- 10 x) - 2 x \cdot 5 + 3 \cdot 5$

Schritt 2.3.5.9

Mutltipliziere $- 10$ mit $3$ .

$10 x^{2} - 10 x + 4 + 20 x^{2} - 30 x - 2 x \cdot 5 + 3 \cdot 5$

Schritt 2.3.5.10

Mutltipliziere $5$ mit $- 2$ .

$10 x^{2} - 10 x + 4 + 20 x^{2} - 30 x - 10 x + 3 \cdot 5$

Schritt 2.3.5.11

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$10 x^{2} - 10 x + 4 + 20 x^{2} - 30 x - 10 x + 15$

Schritt 2.3.5.12

Subtrahiere $10 x$ von $- 30 x$ .

$10 x^{2} - 10 x + 4 + 20 x^{2} - 40 x + 15$

Schritt 2.3.5.13

Addiere $10 x^{2}$ und $20 x^{2}$ .

$30 x^{2} - 10 x + 4 - 40 x + 15$

Schritt 2.3.5.14

Subtrahiere $40 x$ von $- 10 x$ .

$30 x^{2} - 50 x + 4 + 15$

Schritt 2.3.5.15

Addiere $4$ und $15$ .

$30 x^{2} - 50 x + 19$

Schritt 2.4

Bestimme die Ableitung bei $x = 0$ .

$30 {(0)}^{2} - 50 \cdot 0 + 19$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.5.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$30 \cdot 0 - 50 \cdot 0 + 19$

Schritt 2.5.1.2

Mutltipliziere $30$ mit $0$ .

$0 - 50 \cdot 0 + 19$

Schritt 2.5.1.3

Mutltipliziere $- 50$ mit $0$ .

$0 + 0 + 19$

Schritt 2.5.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 2.5.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$0 + 19$

Schritt 2.5.2.2

Addiere $0$ und $19$ .

$19$

Schritt 3

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 3.1

Benutze die Steigung $19$ und einen gegebenen Punkt $(0, - 6)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (- 6) = 19 \cdot (x - (0))$

Schritt 3.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y + 6 = 19 \cdot (x + 0)$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.1

Addiere $x$ und $0$ .

$y + 6 = 19 x$

Schritt 3.3.2

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = 19 x - 6$

Schritt 4