Analysis Beispiele

$y = x^{4} + 9 x^{2} - x$ , $(1, 9)$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 1$ und $y = 9$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} + 9 x^{2} - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [9 x^{2}]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9 x^{2}$ nach $x$ gleich $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} + 9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$4 x^{3} + 9 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$4 x^{3} + 18 x + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x^{3} + 18 x - \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 x^{3} + 18 x - 1 \cdot 1$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$4 x^{3} + 18 x - 1$

Schritt 1.4

Bestimme die Ableitung bei $x = 1$ .

$4 {(1)}^{3} + 18 (1) - 1$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$4 \cdot 1 + 18 (1) - 1$

Schritt 1.5.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$4 + 18 (1) - 1$

Schritt 1.5.1.3

Mutltipliziere $18$ mit $1$ .

$4 + 18 - 1$

Schritt 1.5.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 1.5.2.1

Addiere $4$ und $18$ .

$22 - 1$

Schritt 1.5.2.2

Subtrahiere $1$ von $22$ .

$21$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $21$ und einen gegebenen Punkt $(1, 9)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (9) = 21 \cdot (x - (1))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - 9 = 21 \cdot (x - 1)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache $21 \cdot (x - 1)$ .

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Schritt 2.3.1.1

Forme um.

$y - 9 = 0 + 0 + 21 \cdot (x - 1)$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y - 9 = 21 \cdot (x - 1)$

Schritt 2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 9 = 21 x + 21 \cdot - 1$

Schritt 2.3.1.4

Mutltipliziere $21$ mit $- 1$ .

$y - 9 = 21 x - 21$

Schritt 2.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.2.1

Addiere $9$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = 21 x - 21 + 9$

Schritt 2.3.2.2

Addiere $- 21$ und $9$ .

$y = 21 x - 12$

Schritt 3