Analysis Beispiele

$y = \frac{6}{(1 + e^{- x})}$ , $(0, 3)$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 0$ und $y = 3$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 1.1.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{6}{1 + e^{- x}}$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{1 + e^{- x}}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{1 + e^{- x}}]$

Schritt 1.1.2

Schreibe $\frac{1}{1 + e^{- x}}$ als ${(1 + e^{- x})}^{- 1}$ um.

$6 \frac{d}{d x} [{(1 + e^{- x})}^{- 1}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = 1 + e^{- x}$ .

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Schritt 1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $1 + e^{- x}$ .

$6 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [1 + e^{- x}])$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$6 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + e^{- x}])$

Schritt 1.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $1 + e^{- x}$ .

$6 (- {(1 + e^{- x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + e^{- x}])$

Schritt 1.3

Differenziere.

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Schritt 1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$- 6 ({(1 + e^{- x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + e^{- x}])$

Schritt 1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + e^{- x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$- 6 {(1 + e^{- x})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

Schritt 1.3.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 6 {(1 + e^{- x})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

Schritt 1.3.4

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$- 6 {(1 + e^{- x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Schritt 1.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - x$ .

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Schritt 1.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $- x$ .

$- 6 {(1 + e^{- x})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x])$

Schritt 1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ gleich $a^{u_{2}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$- 6 {(1 + e^{- x})}^{- 2} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x])$

Schritt 1.4.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $- x$ .

$- 6 {(1 + e^{- x})}^{- 2} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

Schritt 1.5

Differenziere.

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Schritt 1.5.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 6 {(1 + e^{- x})}^{- 2} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 1.5.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 6$ .

$6 {(1 + e^{- x})}^{- 2} (e^{- x} (\frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 1.5.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$6 {(1 + e^{- x})}^{- 2} (e^{- x} \cdot 1)$

Schritt 1.5.4

Mutltipliziere $e^{- x}$ mit $1$ .

$6 {(1 + e^{- x})}^{- 2} e^{- x}$

Schritt 1.6

Vereinfache.

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Schritt 1.6.1

Stelle die Faktoren von $6 {(1 + e^{- x})}^{- 2} e^{- x}$ um.

$6 e^{- x} {(1 + e^{- x})}^{- 2}$

Schritt 1.6.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 e^{- x} \frac{1}{{(1 + e^{- x})}^{2}}$

Schritt 1.6.3

Multipliziere $6 e^{- x} \frac{1}{{(1 + e^{- x})}^{2}}$ .

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Schritt 1.6.3.1

Kombiniere $\frac{1}{{(1 + e^{- x})}^{2}}$ und $6$ .

$\frac{6}{{(1 + e^{- x})}^{2}} e^{- x}$

Schritt 1.6.3.2

Kombiniere $\frac{6}{{(1 + e^{- x})}^{2}}$ und $e^{- x}$ .

$\frac{6 e^{- x}}{{(1 + e^{- x})}^{2}}$

Schritt 1.7

Bestimme die Ableitung bei $x = 0$ .

$\frac{6 e^{- (0)}}{{(1 + e^{- (0)})}^{2}}$

Schritt 1.8

Vereinfache.

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Schritt 1.8.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.8.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{6 e^{0}}{{(1 + e^{- (0)})}^{2}}$

Schritt 1.8.1.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{6 \cdot 1}{{(1 + e^{- (0)})}^{2}}$

Schritt 1.8.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.8.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{6 \cdot 1}{{(1 + e^{0})}^{2}}$

Schritt 1.8.2.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{6 \cdot 1}{{(1 + 1)}^{2}}$

Schritt 1.8.2.3

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{6 \cdot 1}{2^{2}}$

Schritt 1.8.2.4

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{6 \cdot 1}{4}$

Schritt 1.8.3

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.8.3.1

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$\frac{6}{4}$

Schritt 1.8.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $4$ .

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Schritt 1.8.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{2 (3)}{4}$

Schritt 1.8.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.8.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.8.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.8.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3}{2}$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $\frac{3}{2}$ und einen gegebenen Punkt $(0, 3)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (3) = \frac{3}{2} \cdot (x - (0))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - 3 = \frac{3}{2} \cdot (x + 0)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache $\frac{3}{2} \cdot (x + 0)$ .

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Schritt 2.3.1.1

Addiere $x$ und $0$ .

$y - 3 = \frac{3}{2} \cdot x$

Schritt 2.3.1.2

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $x$ .

$y - 3 = \frac{3 x}{2}$

Schritt 2.3.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = \frac{3 x}{2} + 3$

Schritt 2.3.3

Stelle die Terme um.

$y = \frac{3}{2} x + 3$

Schritt 3