Analysis Beispiele

$y = 8 \sin (x)$ at the point $(\frac{π}{6}, 4)$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = \frac{π}{6}$ und $y = 4$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 \sin (x)$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$8 \cos (x)$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung bei $x = \frac{π}{6}$ .

$8 \cos (\frac{π}{6})$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{6})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$8 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$2 (4) \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cdot 4 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$4 \sqrt{3}$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $4 \sqrt{3}$ und einen gegebenen Punkt $(\frac{π}{6}, 4)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (4) = 4 \sqrt{3} \cdot (x - (\frac{π}{6}))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - 4 = 4 \sqrt{3} \cdot (x - \frac{π}{6})$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache $4 \sqrt{3} \cdot (x - \frac{π}{6})$ .

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Schritt 2.3.1.1

Forme um.

$y - 4 = 0 + 0 + 4 \sqrt{3} \cdot (x - \frac{π}{6})$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y - 4 = 4 \sqrt{3} \cdot (x - \frac{π}{6})$

Schritt 2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 4 = 4 \sqrt{3} x + 4 \sqrt{3} (- \frac{π}{6})$

Schritt 2.3.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.1.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{π}{6}$ in den Zähler.

$y - 4 = 4 \sqrt{3} x + 4 \sqrt{3} \frac{- π}{6}$

Schritt 2.3.1.4.2

Faktorisiere $2$ aus $4 \sqrt{3}$ heraus.

$y - 4 = 4 \sqrt{3} x + 2 (2 \sqrt{3}) \frac{- π}{6}$

Schritt 2.3.1.4.3

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$y - 4 = 4 \sqrt{3} x + 2 (2 \sqrt{3}) \frac{- π}{2 (3)}$

Schritt 2.3.1.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y - 4 = 4 \sqrt{3} x + 2 (2 \sqrt{3}) \frac{- π}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.3.1.4.5

Forme den Ausdruck um.

$y - 4 = 4 \sqrt{3} x + 2 \sqrt{3} \frac{- π}{3}$

Schritt 2.3.1.5

Kombiniere $\frac{- π}{3}$ und $2$ .

$y - 4 = 4 \sqrt{3} x + \frac{- π \cdot 2}{3} \sqrt{3}$

Schritt 2.3.1.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$y - 4 = 4 \sqrt{3} x + \frac{- 2 π}{3} \sqrt{3}$

Schritt 2.3.1.7

Kombiniere $\frac{- 2 π}{3}$ und $\sqrt{3}$ .

$y - 4 = 4 \sqrt{3} x + \frac{- 2 π \sqrt{3}}{3}$

Schritt 2.3.1.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y - 4 = 4 \sqrt{3} x - \frac{2 π \sqrt{3}}{3}$

Schritt 2.3.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = 4 \sqrt{3} x - \frac{2 π \sqrt{3}}{3} + 4$

Schritt 2.3.3

Schreibe in $y = m x + b$ -Form.

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Schritt 2.3.3.1

Um $4$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$y = 4 \sqrt{3} x - \frac{2 π \sqrt{3}}{3} + 4 \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 2.3.3.2

Kombiniere $4$ und $\frac{3}{3}$ .

$y = 4 \sqrt{3} x - \frac{2 π \sqrt{3}}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3}$

Schritt 2.3.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = 4 \sqrt{3} x + \frac{- 2 π \sqrt{3} + 4 \cdot 3}{3}$

Schritt 2.3.3.4

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$y = 4 \sqrt{3} x + \frac{- 2 π \sqrt{3} + 12}{3}$

Schritt 2.3.3.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 π \sqrt{3}$ heraus.

$y = 4 \sqrt{3} x + \frac{- (2 π \sqrt{3}) + 12}{3}$

Schritt 2.3.3.6

Schreibe $12$ als $- 1 (- 12)$ um.

$y = 4 \sqrt{3} x + \frac{- (2 π \sqrt{3}) - 1 (- 12)}{3}$

Schritt 2.3.3.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 π \sqrt{3}) - 1 (- 12)$ heraus.

$y = 4 \sqrt{3} x + \frac{- (2 π \sqrt{3} - 12)}{3}$

Schritt 2.3.3.8

Schreibe $- (2 π \sqrt{3} - 12)$ als $- 1 (2 π \sqrt{3} - 12)$ um.

$y = 4 \sqrt{3} x + \frac{- 1 (2 π \sqrt{3} - 12)}{3}$

Schritt 2.3.3.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = 4 \sqrt{3} x - \frac{2 π \sqrt{3} - 12}{3}$

Schritt 3