Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{2}{x}$ at $(- 8, - \frac{1}{4})$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = - 8$ und $y = - \frac{1}{4}$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{2}{x}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 1.2

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$2 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Schritt 1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$2 (- x^{- 2})$

Schritt 1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 x^{- 2}$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 1.5.2

Vereine die Terme

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Schritt 1.5.2.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{- 2}{x^{2}}$

Schritt 1.5.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2}{x^{2}}$

Schritt 1.6

Bestimme die Ableitung bei $x = - 8$ .

$- \frac{2}{{(- 8)}^{2}}$

Schritt 1.7

Vereinfache.

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Schritt 1.7.1

Potenziere $- 8$ mit $2$ .

$- \frac{2}{64}$

Schritt 1.7.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $64$ .

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Schritt 1.7.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$- \frac{2 (1)}{64}$

Schritt 1.7.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.7.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $64$ heraus.

$- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 32}$

Schritt 1.7.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 32}$

Schritt 1.7.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1}{32}$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $- \frac{1}{32}$ und einen gegebenen Punkt $(- 8, - \frac{1}{4})$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (- \frac{1}{4}) = - \frac{1}{32} \cdot (x - (- 8))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y + \frac{1}{4} = - \frac{1}{32} \cdot (x + 8)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache $- \frac{1}{32} \cdot (x + 8)$ .

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Schritt 2.3.1.1

Forme um.

$y + \frac{1}{4} = 0 + 0 - \frac{1}{32} \cdot (x + 8)$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y + \frac{1}{4} = - \frac{1}{32} \cdot (x + 8)$

Schritt 2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y + \frac{1}{4} = - \frac{1}{32} x - \frac{1}{32} \cdot 8$

Schritt 2.3.1.4

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{32}$ .

$y + \frac{1}{4} = - \frac{x}{32} - \frac{1}{32} \cdot 8$

Schritt 2.3.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 2.3.1.5.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{32}$ in den Zähler.

$y + \frac{1}{4} = - \frac{x}{32} + \frac{- 1}{32} \cdot 8$

Schritt 2.3.1.5.2

Faktorisiere $8$ aus $32$ heraus.

$y + \frac{1}{4} = - \frac{x}{32} + \frac{- 1}{8 (4)} \cdot 8$

Schritt 2.3.1.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y + \frac{1}{4} = - \frac{x}{32} + \frac{- 1}{8 \cdot 4} \cdot 8$

Schritt 2.3.1.5.4

Forme den Ausdruck um.

$y + \frac{1}{4} = - \frac{x}{32} + \frac{- 1}{4}$

Schritt 2.3.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y + \frac{1}{4} = - \frac{x}{32} - \frac{1}{4}$

Schritt 2.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.2.1

Subtrahiere $\frac{1}{4}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = - \frac{x}{32} - \frac{1}{4} - \frac{1}{4}$

Schritt 2.3.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{- x}{32} + \frac{- 1 - 1}{4}$

Schritt 2.3.2.3

Subtrahiere $1$ von $- 1$ .

$y = \frac{- x}{32} + \frac{- 2}{4}$

Schritt 2.3.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.2.4.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{x}{32} + \frac{- 2}{4}$

Schritt 2.3.2.4.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $4$ .

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Schritt 2.3.2.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$y = - \frac{x}{32} + \frac{2 (- 1)}{4}$

Schritt 2.3.2.4.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.2.4.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$y = - \frac{x}{32} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.3.2.4.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = - \frac{x}{32} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.3.2.4.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = - \frac{x}{32} + \frac{- 1}{2}$

Schritt 2.3.2.4.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{x}{32} - \frac{1}{2}$

Schritt 2.3.3

Schreibe in $y = m x + b$ -Form.

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Schritt 2.3.3.1

Stelle die Terme um.

$y = - (\frac{1}{32} x) - \frac{1}{2}$

Schritt 2.3.3.2

Entferne die Klammern.

$y = - \frac{1}{32} x - \frac{1}{2}$

Schritt 3