Analysis Beispiele

$f (x) = e^{x^{3} - 1}$ at $x = 1$

Schritt 1

Bestimme den entsprechenden $y$ -Wert zu $x = 1$ .

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Schritt 1.1

Setze $1$ für $x$ ein.

$y = e^{{(1)}^{3} - 1}$

Schritt 1.2

Vereinfache $e^{{(1)}^{3} - 1}$ .

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Schritt 1.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$y = e^{1 - 1}$

Schritt 1.2.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$y = e^{0}$

Schritt 1.2.3

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$y = 1$

Schritt 2

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 1$ und $y = 1$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = x^{3} - 1$ .

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Schritt 2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{3} - 1$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{3} - 1]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [x^{3} - 1]$

Schritt 2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{3} - 1$ .

$e^{x^{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{3} - 1]$

Schritt 2.2

Differenziere.

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Schritt 2.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$e^{x^{3} - 1} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$e^{x^{3} - 1} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 2.2.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$e^{x^{3} - 1} (3 x^{2} + 0)$

Schritt 2.2.4

Addiere $3 x^{2}$ und $0$ .

$e^{x^{3} - 1} (3 x^{2})$

Schritt 2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Stelle die Faktoren von $e^{x^{3} - 1} (3 x^{2})$ um.

$3 e^{x^{3} - 1} x^{2}$

Schritt 2.3.2

Stelle die Faktoren in $3 e^{x^{3} - 1} x^{2}$ um.

$3 x^{2} e^{x^{3} - 1}$

Schritt 2.4

Bestimme die Ableitung bei $x = 1$ .

$3 {(1)}^{2} e^{{(1)}^{3} - 1}$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$3 \cdot 1 e^{{(1)}^{3} - 1}$

Schritt 2.5.2

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3 e^{{(1)}^{3} - 1}$

Schritt 2.5.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$3 e^{1 - 1}$

Schritt 2.5.4

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$3 e^{0}$

Schritt 2.5.5

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$3 \cdot 1$

Schritt 2.5.6

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3$

Schritt 3

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 3.1

Benutze die Steigung $3$ und einen gegebenen Punkt $(1, 1)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (1) = 3 \cdot (x - (1))$

Schritt 3.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - 1 = 3 \cdot (x - 1)$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache $3 \cdot (x - 1)$ .

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Schritt 3.3.1.1

Forme um.

$y - 1 = 0 + 0 + 3 \cdot (x - 1)$

Schritt 3.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y - 1 = 3 \cdot (x - 1)$

Schritt 3.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 1 = 3 x + 3 \cdot - 1$

Schritt 3.3.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$y - 1 = 3 x - 3$

Schritt 3.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = 3 x - 3 + 1$

Schritt 3.3.2.2

Addiere $- 3$ und $1$ .

$y = 3 x - 2$

Schritt 4