Analysis Beispiele

$x^{2} - y^{2} - 3 x - 19 = 0$ , $(- 4, 3)$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = - 4$ und $y = 3$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x^{2} - y^{2} - 3 x - 19) = \frac{d}{d x} (0)$

Schritt 1.2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Differenziere.

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Schritt 1.2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - y^{2} - 3 x - 19$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 19]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 19]$

Schritt 1.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 19]$

Schritt 1.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

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Schritt 1.2.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- y^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$2 x - \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 19]$

Schritt 1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 1.2.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$2 x - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 19]$

Schritt 1.2.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x - (2 u \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 19]$

Schritt 1.2.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$2 x - (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 19]$

Schritt 1.2.2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$2 x - (2 y y') + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 19]$

Schritt 1.2.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$2 x - 2 y y' + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 19]$

Schritt 1.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

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Schritt 1.2.3.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x - 2 y y' - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 19]$

Schritt 1.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 x - 2 y y' - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 19]$

Schritt 1.2.3.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$2 x - 2 y y' - 3 + \frac{d}{d x} [- 19]$

Schritt 1.2.4

Da $- 19$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 19$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 x - 2 y y' - 3 + 0$

Schritt 1.2.5

Vereinfache.

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Schritt 1.2.5.1

Addiere $2 x - 2 y y' - 3$ und $0$ .

$2 x - 2 y y' - 3$

Schritt 1.2.5.2

Stelle die Terme um.

$- 2 y y' + 2 x - 3$

Schritt 1.3

Da $0$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $0$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 1.4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$- 2 y y' + 2 x - 3 = 0$

Schritt 1.5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 1.5.1

Bringe alle Terme, die nicht $y'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.5.1.1

Subtrahiere $2 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 y y' - 3 = - 2 x$

Schritt 1.5.1.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 y y' = - 2 x + 3$

Schritt 1.5.2

Teile jeden Ausdruck in $- 2 y y' = - 2 x + 3$ durch $- 2 y$ und vereinfache.

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Schritt 1.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 y y' = - 2 x + 3$ durch $- 2 y$ .

$\frac{- 2 y y'}{- 2 y} = \frac{- 2 x}{- 2 y} + \frac{3}{- 2 y}$

Schritt 1.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

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Schritt 1.5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 y y'}{- 2 y} = \frac{- 2 x}{- 2 y} + \frac{3}{- 2 y}$

Schritt 1.5.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 2 x}{- 2 y} + \frac{3}{- 2 y}$

Schritt 1.5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 2 x}{- 2 y} + \frac{3}{- 2 y}$

Schritt 1.5.2.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{- 2 y} + \frac{3}{- 2 y}$

Schritt 1.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.5.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

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Schritt 1.5.2.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{- 2 x}{- 2 y} + \frac{3}{- 2 y}$

Schritt 1.5.2.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{x}{y} + \frac{3}{- 2 y}$

Schritt 1.5.2.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = \frac{x}{y} - \frac{3}{2 y}$

Schritt 1.6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} - \frac{3}{2 y}$

Schritt 1.7

Berechne bei $x = - 4$ und $y = 3$ .

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Schritt 1.7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 4$ .

$\frac{- 4}{y} - \frac{3}{2 y}$

Schritt 1.7.2

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $y$ durch $3$ .

$\frac{- 4}{3} - \frac{3}{2 (3)}$

Schritt 1.7.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.7.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{4}{3} - \frac{3}{2 (3)}$

Schritt 1.7.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.7.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{4}{3} - \frac{3}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.7.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{4}{3} - \frac{1}{2}$

Schritt 1.7.4

Um $- \frac{4}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Schritt 1.7.5

Um $- \frac{1}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 1.7.6

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $6$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 1.7.6.1

Mutltipliziere $\frac{4}{3}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{4 \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 1.7.6.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$- \frac{4 \cdot 2}{6} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 1.7.6.3

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{4 \cdot 2}{6} - \frac{3}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.7.6.4

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$- \frac{4 \cdot 2}{6} - \frac{3}{6}$

Schritt 1.7.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 4 \cdot 2 - 3}{6}$

Schritt 1.7.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.7.8.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$\frac{- 8 - 3}{6}$

Schritt 1.7.8.2

Subtrahiere $3$ von $- 8$ .

$\frac{- 11}{6}$

Schritt 1.7.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{11}{6}$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $- \frac{11}{6}$ und einen gegebenen Punkt $(- 4, 3)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (3) = - \frac{11}{6} \cdot (x - (- 4))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - 3 = - \frac{11}{6} \cdot (x + 4)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache $- \frac{11}{6} \cdot (x + 4)$ .

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Schritt 2.3.1.1

Forme um.

$y - 3 = 0 + 0 - \frac{11}{6} \cdot (x + 4)$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 3 = - \frac{11}{6} x - \frac{11}{6} \cdot 4$

Schritt 2.3.1.2.2

Kombiniere $x$ und $\frac{11}{6}$ .

$y - 3 = - \frac{x \cdot 11}{6} - \frac{11}{6} \cdot 4$

Schritt 2.3.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.1.2.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{11}{6}$ in den Zähler.

$y - 3 = - \frac{x \cdot 11}{6} + \frac{- 11}{6} \cdot 4$

Schritt 2.3.1.2.3.2

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$y - 3 = - \frac{x \cdot 11}{6} + \frac{- 11}{2 (3)} \cdot 4$

Schritt 2.3.1.2.3.3

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$y - 3 = - \frac{x \cdot 11}{6} + \frac{- 11}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot 2)$

Schritt 2.3.1.2.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y - 3 = - \frac{x \cdot 11}{6} + \frac{- 11}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot 2)$

Schritt 2.3.1.2.3.5

Forme den Ausdruck um.

$y - 3 = - \frac{x \cdot 11}{6} + \frac{- 11}{3} \cdot 2$

Schritt 2.3.1.2.4

Kombiniere $\frac{- 11}{3}$ und $2$ .

$y - 3 = - \frac{x \cdot 11}{6} + \frac{- 11 \cdot 2}{3}$

Schritt 2.3.1.2.5

Mutltipliziere $- 11$ mit $2$ .

$y - 3 = - \frac{x \cdot 11}{6} + \frac{- 22}{3}$

Schritt 2.3.1.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.3.1

Bringe $11$ auf die linke Seite von $x$ .

$y - 3 = - \frac{11 \cdot x}{6} + \frac{- 22}{3}$

Schritt 2.3.1.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y - 3 = - \frac{11 x}{6} - \frac{22}{3}$

Schritt 2.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.2.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = - \frac{11 x}{6} - \frac{22}{3} + 3$

Schritt 2.3.2.2

Um $3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{11 x}{6} - \frac{22}{3} + 3 \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 2.3.2.3

Kombiniere $3$ und $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{11 x}{6} - \frac{22}{3} + \frac{3 \cdot 3}{3}$

Schritt 2.3.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = - \frac{11 x}{6} + \frac{- 22 + 3 \cdot 3}{3}$

Schritt 2.3.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.2.5.1

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$y = - \frac{11 x}{6} + \frac{- 22 + 9}{3}$

Schritt 2.3.2.5.2

Addiere $- 22$ und $9$ .

$y = - \frac{11 x}{6} + \frac{- 13}{3}$

Schritt 2.3.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{11 x}{6} - \frac{13}{3}$

Schritt 2.3.3

Schreibe in $y = m x + b$ -Form.

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Schritt 2.3.3.1

Stelle die Terme um.

$y = - (\frac{11}{6} x) - \frac{13}{3}$

Schritt 2.3.3.2

Entferne die Klammern.

$y = - \frac{11}{6} x - \frac{13}{3}$

Schritt 3