Analysis Beispiele

$f (x) = \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}$ ; $(4, \frac{5}{2})$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 4$ und $y = \frac{5}{2}$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ .

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Schritt 1.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]$

Schritt 1.2.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]$

Schritt 1.2.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]$

Schritt 1.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]$

Schritt 1.2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]$

Schritt 1.2.6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]$

Schritt 1.2.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]$ .

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Schritt 1.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 1.3.2

Schreibe $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ als ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ um.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Schritt 1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 1.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 1.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 1.3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 1.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Schritt 1.3.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ .

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Schritt 1.3.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Schritt 1.3.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.3.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Schritt 1.3.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Schritt 1.3.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Schritt 1.3.6

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Schritt 1.3.7

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 1.3.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 1.3.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.3.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Schritt 1.3.9.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Schritt 1.3.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Schritt 1.3.11

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{- 1} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 1.3.12

Kombiniere $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ und $x^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{x^{- \frac{1}{2}} x^{- 1}}{2}$

Schritt 1.3.13

Multipliziere $x^{- \frac{1}{2}}$ mit $x^{- 1}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.3.13.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1}}{2}$

Schritt 1.3.13.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{2}$

Schritt 1.3.13.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{2}$

Schritt 1.3.13.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}}}{2}$

Schritt 1.3.13.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.3.13.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{- 1 - 2}{2}}}{2}$

Schritt 1.3.13.5.2

Subtrahiere $2$ von $- 1$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{- 3}{2}}}{2}$

Schritt 1.3.13.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$

Schritt 1.3.14

Bringe $x^{- \frac{3}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 1.4.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 1.5

Bestimme die Ableitung bei $x = 4$ .

$\frac{1}{2 {(4)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 {(4)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 1.6

Vereinfache.

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Schritt 1.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.6.1.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.6.1.1.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{1}{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 {(4)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 1.6.1.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(2^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 1.6.1.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}} - \frac{1}{2 {(4)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 1.6.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.6.1.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}} - \frac{1}{2 {(4)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 1.6.1.1.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2 \cdot 2^{1}} - \frac{1}{2 {(4)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 1.6.1.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{2^{1 + 1}} - \frac{1}{2 {(4)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 1.6.1.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{2^{2}} - \frac{1}{2 {(4)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 1.6.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1}{4} - \frac{1}{2 {(4)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 1.6.1.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.6.1.3.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{1}{4} - \frac{1}{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 1.6.1.3.2

Multipliziere die Exponenten in ${(2^{2})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Schritt 1.6.1.3.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} - \frac{1}{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}$

Schritt 1.6.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.6.1.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{4} - \frac{1}{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}$

Schritt 1.6.1.3.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{4} - \frac{1}{2 \cdot 2^{3}}$

Schritt 1.6.1.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{4} - \frac{1}{2^{1 + 3}}$

Schritt 1.6.1.3.4

Addiere $1$ und $3$ .

$\frac{1}{4} - \frac{1}{2^{4}}$

Schritt 1.6.1.4

Potenziere $2$ mit $4$ .

$\frac{1}{4} - \frac{1}{16}$

Schritt 1.6.2

Um $\frac{1}{4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{16}$

Schritt 1.6.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $16$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 1.6.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{4}{4 \cdot 4} - \frac{1}{16}$

Schritt 1.6.3.2

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$\frac{4}{16} - \frac{1}{16}$

Schritt 1.6.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{4 - 1}{16}$

Schritt 1.6.5

Subtrahiere $1$ von $4$ .

$\frac{3}{16}$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $\frac{3}{16}$ und einen gegebenen Punkt $(4, \frac{5}{2})$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (\frac{5}{2}) = \frac{3}{16} \cdot (x - (4))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - \frac{5}{2} = \frac{3}{16} \cdot (x - 4)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache $\frac{3}{16} \cdot (x - 4)$ .

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Schritt 2.3.1.1

Forme um.

$y - \frac{5}{2} = 0 + 0 + \frac{3}{16} \cdot (x - 4)$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y - \frac{5}{2} = \frac{3}{16} \cdot (x - 4)$

Schritt 2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - \frac{5}{2} = \frac{3}{16} x + \frac{3}{16} \cdot - 4$

Schritt 2.3.1.4

Kombiniere $\frac{3}{16}$ und $x$ .

$y - \frac{5}{2} = \frac{3 x}{16} + \frac{3}{16} \cdot - 4$

Schritt 2.3.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.3.1.5.1

Faktorisiere $4$ aus $16$ heraus.

$y - \frac{5}{2} = \frac{3 x}{16} + \frac{3}{4 (4)} \cdot - 4$

Schritt 2.3.1.5.2

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$y - \frac{5}{2} = \frac{3 x}{16} + \frac{3}{4 \cdot 4} \cdot (4 \cdot - 1)$

Schritt 2.3.1.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y - \frac{5}{2} = \frac{3 x}{16} + \frac{3}{4 \cdot 4} \cdot (4 \cdot - 1)$

Schritt 2.3.1.5.4

Forme den Ausdruck um.

$y - \frac{5}{2} = \frac{3 x}{16} + \frac{3}{4} \cdot - 1$

Schritt 2.3.1.6

Kombiniere $\frac{3}{4}$ und $- 1$ .

$y - \frac{5}{2} = \frac{3 x}{16} + \frac{3 \cdot - 1}{4}$

Schritt 2.3.1.7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.1.7.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$y - \frac{5}{2} = \frac{3 x}{16} + \frac{- 3}{4}$

Schritt 2.3.1.7.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y - \frac{5}{2} = \frac{3 x}{16} - \frac{3}{4}$

Schritt 2.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.2.1

Addiere $\frac{5}{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = \frac{3 x}{16} - \frac{3}{4} + \frac{5}{2}$

Schritt 2.3.2.2

Um $\frac{5}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{3 x}{16} - \frac{3}{4} + \frac{5}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 2.3.2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $4$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.3.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{5}{2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{3 x}{16} - \frac{3}{4} + \frac{5 \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.3.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{3 x}{16} - \frac{3}{4} + \frac{5 \cdot 2}{4}$

Schritt 2.3.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{3 x}{16} + \frac{- 3 + 5 \cdot 2}{4}$

Schritt 2.3.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.2.5.1

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$y = \frac{3 x}{16} + \frac{- 3 + 10}{4}$

Schritt 2.3.2.5.2

Addiere $- 3$ und $10$ .

$y = \frac{3 x}{16} + \frac{7}{4}$

Schritt 2.3.3

Stelle die Terme um.

$y = \frac{3}{16} x + \frac{7}{4}$

Schritt 3