Analysis Beispiele

$x^{4} + 5 y^{2} = 36$ , $(2, 2)$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 2$ und $y = 2$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x^{4} + 5 y^{2}) = \frac{d}{d x} (36)$

Schritt 1.2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Differenziere.

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Schritt 1.2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} + 5 y^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [5 y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [5 y^{2}]$

Schritt 1.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [5 y^{2}]$

Schritt 1.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [5 y^{2}]$ .

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Schritt 1.2.2.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 y^{2}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$4 x^{3} + 5 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 1.2.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$4 x^{3} + 5 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 1.2.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$4 x^{3} + 5 (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 1.2.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$4 x^{3} + 5 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 1.2.2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$4 x^{3} + 5 (2 y y')$

Schritt 1.2.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$4 x^{3} + 10 y y'$

Schritt 1.3

Da $36$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $36$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 1.4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$4 x^{3} + 10 y y' = 0$

Schritt 1.5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 1.5.1

Subtrahiere $4 x^{3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$10 y y' = - 4 x^{3}$

Schritt 1.5.2

Teile jeden Ausdruck in $10 y y' = - 4 x^{3}$ durch $10 y$ und vereinfache.

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Schritt 1.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $10 y y' = - 4 x^{3}$ durch $10 y$ .

$\frac{10 y y'}{10 y} = \frac{- 4 x^{3}}{10 y}$

Schritt 1.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $10$ .

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Schritt 1.5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{10 y y'}{10 y} = \frac{- 4 x^{3}}{10 y}$

Schritt 1.5.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 4 x^{3}}{10 y}$

Schritt 1.5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 4 x^{3}}{10 y}$

Schritt 1.5.2.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 4 x^{3}}{10 y}$

Schritt 1.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.5.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $10$ .

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Schritt 1.5.2.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4 x^{3}$ heraus.

$y' = \frac{2 (- 2 x^{3})}{10 y}$

Schritt 1.5.2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.5.2.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $10 y$ heraus.

$y' = \frac{2 (- 2 x^{3})}{2 (5 y)}$

Schritt 1.5.2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{2 (- 2 x^{3})}{2 (5 y)}$

Schritt 1.5.2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{- 2 x^{3}}{5 y}$

Schritt 1.5.2.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{2 x^{3}}{5 y}$

Schritt 1.6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x^{3}}{5 y}$

Schritt 1.7

Berechne bei $x = 2$ und $y = 2$ .

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Schritt 1.7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$- \frac{2 {(2)}^{3}}{5 y}$

Schritt 1.7.2

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $y$ durch $2$ .

$- \frac{2 {(2)}^{3}}{5 (2)}$

Schritt 1.7.3

Multipliziere $2$ mit ${(2)}^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.7.3.1

Mutltipliziere $2$ mit ${(2)}^{3}$ .

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Schritt 1.7.3.1.1

Potenziere $2$ mit $1$ .

$- \frac{2^{1} {(2)}^{3}}{5 (2)}$

Schritt 1.7.3.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{2^{1 + 3}}{5 (2)}$

Schritt 1.7.3.2

Addiere $1$ und $3$ .

$- \frac{2^{4}}{5 (2)}$

Schritt 1.7.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2^{4}$ und $2$ .

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Schritt 1.7.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2^{4}$ heraus.

$- \frac{2 \cdot 2^{3}}{5 (2)}$

Schritt 1.7.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.7.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $5 (2)$ heraus.

$- \frac{2 \cdot 2^{3}}{2 \cdot 5}$

Schritt 1.7.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{2 \cdot 2^{3}}{2 \cdot 5}$

Schritt 1.7.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{2^{3}}{5}$

Schritt 1.7.5

Potenziere $2$ mit $3$ .

$- \frac{8}{5}$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $- \frac{8}{5}$ und einen gegebenen Punkt $(2, 2)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (2) = - \frac{8}{5} \cdot (x - (2))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - 2 = - \frac{8}{5} \cdot (x - 2)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache $- \frac{8}{5} \cdot (x - 2)$ .

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Schritt 2.3.1.1

Forme um.

$y - 2 = 0 + 0 - \frac{8}{5} \cdot (x - 2)$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y - 2 = - \frac{8}{5} \cdot (x - 2)$

Schritt 2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 2 = - \frac{8}{5} x - \frac{8}{5} \cdot - 2$

Schritt 2.3.1.4

Kombiniere $x$ und $\frac{8}{5}$ .

$y - 2 = - \frac{x \cdot 8}{5} - \frac{8}{5} \cdot - 2$

Schritt 2.3.1.5

Multipliziere $- \frac{8}{5} \cdot - 2$ .

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Schritt 2.3.1.5.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$y - 2 = - \frac{x \cdot 8}{5} + 2 (\frac{8}{5})$

Schritt 2.3.1.5.2

Kombiniere $2$ und $\frac{8}{5}$ .

$y - 2 = - \frac{x \cdot 8}{5} + \frac{2 \cdot 8}{5}$

Schritt 2.3.1.5.3

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$y - 2 = - \frac{x \cdot 8}{5} + \frac{16}{5}$

Schritt 2.3.1.6

Bringe $8$ auf die linke Seite von $x$ .

$y - 2 = - \frac{8 x}{5} + \frac{16}{5}$

Schritt 2.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.2.1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = - \frac{8 x}{5} + \frac{16}{5} + 2$

Schritt 2.3.2.2

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$y = - \frac{8 x}{5} + \frac{16}{5} + 2 \cdot \frac{5}{5}$

Schritt 2.3.2.3

Kombiniere $2$ und $\frac{5}{5}$ .

$y = - \frac{8 x}{5} + \frac{16}{5} + \frac{2 \cdot 5}{5}$

Schritt 2.3.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = - \frac{8 x}{5} + \frac{16 + 2 \cdot 5}{5}$

Schritt 2.3.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.2.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$y = - \frac{8 x}{5} + \frac{16 + 10}{5}$

Schritt 2.3.2.5.2

Addiere $16$ und $10$ .

$y = - \frac{8 x}{5} + \frac{26}{5}$

Schritt 2.3.3

Schreibe in $y = m x + b$ -Form.

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Schritt 2.3.3.1

Stelle die Terme um.

$y = - (\frac{8}{5} x) + \frac{26}{5}$

Schritt 2.3.3.2

Entferne die Klammern.

$y = - \frac{8}{5} x + \frac{26}{5}$

Schritt 3