Analysis Beispiele

$x^{2} - x y - y^{2} = 1$ , $(1, 0)$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 1$ und $y = 0$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x^{2} - x y - y^{2}) = \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 1.2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Differenziere.

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Schritt 1.2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - x y - y^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Schritt 1.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Schritt 1.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- x y]$ .

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Schritt 1.2.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x y$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x y]$ .

$2 x - \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Schritt 1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y$ .

$2 x - (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Schritt 1.2.2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$2 x - (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Schritt 1.2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 x - (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Schritt 1.2.2.5

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$2 x - (x y' + y) + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Schritt 1.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

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Schritt 1.2.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- y^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$2 x - (x y' + y) - \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 1.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 1.2.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$2 x - (x y' + y) - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 1.2.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x - (x y' + y) - (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 1.2.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$2 x - (x y' + y) - (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 1.2.3.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$2 x - (x y' + y) - (2 y y')$

Schritt 1.2.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$2 x - (x y' + y) - 2 y y'$

Schritt 1.2.4

Vereinfache.

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Schritt 1.2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x - (x y') - y - 2 y y'$

Schritt 1.2.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$2 x - x y' - y - 2 y y'$

Schritt 1.2.4.3

Stelle die Terme um.

$- x y' - 2 y y' + 2 x - y$

Schritt 1.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 1.4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$- x y' - 2 y y' + 2 x - y = 0$

Schritt 1.5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 1.5.1

Bringe alle Terme, die nicht $y'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.5.1.1

Subtrahiere $2 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x y' - 2 y y' - y = - 2 x$

Schritt 1.5.1.2

Addiere $y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- x y' - 2 y y' = - 2 x + y$

Schritt 1.5.2

Faktorisiere $y'$ aus $- x y' - 2 y y'$ heraus.

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Schritt 1.5.2.1

Faktorisiere $y'$ aus $- x y'$ heraus.

$y' (- x) - 2 y y' = - 2 x + y$

Schritt 1.5.2.2

Faktorisiere $y'$ aus $- 2 y y'$ heraus.

$y' (- x) + y' (- 2 y) = - 2 x + y$

Schritt 1.5.2.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' (- x) + y' (- 2 y)$ heraus.

$y' (- x - 2 y) = - 2 x + y$

Schritt 1.5.3

Teile jeden Ausdruck in $y' (- x - 2 y) = - 2 x + y$ durch $- x - 2 y$ und vereinfache.

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Schritt 1.5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (- x - 2 y) = - 2 x + y$ durch $- x - 2 y$ .

$\frac{y' (- x - 2 y)}{- x - 2 y} = \frac{- 2 x}{- x - 2 y} + \frac{y}{- x - 2 y}$

Schritt 1.5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- x - 2 y$ .

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Schritt 1.5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (- x - 2 y)}{- x - 2 y} = \frac{- 2 x}{- x - 2 y} + \frac{y}{- x - 2 y}$

Schritt 1.5.3.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{- x - 2 y} + \frac{y}{- x - 2 y}$

Schritt 1.5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.5.3.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{- 2 x + y}{- x - 2 y}$

Schritt 1.5.3.3.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 x$ heraus.

$y' = \frac{- (2 x) + y}{- x - 2 y}$

Schritt 1.5.3.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $y$ heraus.

$y' = \frac{- (2 x) - 1 (- y)}{- x - 2 y}$

Schritt 1.5.3.3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 x) - 1 (- y)$ heraus.

$y' = \frac{- (2 x - y)}{- x - 2 y}$

Schritt 1.5.3.3.5

Schreibe $- (2 x - y)$ als $- 1 (2 x - y)$ um.

$y' = \frac{- 1 (2 x - y)}{- x - 2 y}$

Schritt 1.5.3.3.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$y' = \frac{- 1 (2 x - y)}{- (x) - 2 y}$

Schritt 1.5.3.3.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 y$ heraus.

$y' = \frac{- 1 (2 x - y)}{- (x) - (2 y)}$

Schritt 1.5.3.3.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - (2 y)$ heraus.

$y' = \frac{- 1 (2 x - y)}{- (x + 2 y)}$

Schritt 1.5.3.3.9

Schreibe $- (x + 2 y)$ als $- 1 (x + 2 y)$ um.

$y' = \frac{- 1 (2 x - y)}{- 1 (x + 2 y)}$

Schritt 1.5.3.3.10

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{- 1 (2 x - y)}{- 1 (x + 2 y)}$

Schritt 1.5.3.3.11

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{2 x - y}{x + 2 y}$

Schritt 1.6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x - y}{x + 2 y}$

Schritt 1.7

Berechne bei $x = 1$ und $y = 0$ .

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Schritt 1.7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$\frac{2 (1) - y}{(1) + 2 y}$

Schritt 1.7.2

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $y$ durch $0$ .

$\frac{2 (1) - (0)}{(1) + 2 (0)}$

Schritt 1.7.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.7.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{2 - (0)}{1 + 2 (0)}$

Schritt 1.7.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{2 + 0}{1 + 2 (0)}$

Schritt 1.7.3.3

Addiere $2$ und $0$ .

$\frac{2}{1 + 2 (0)}$

Schritt 1.7.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.7.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$\frac{2}{1 + 0}$

Schritt 1.7.4.2

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{2}{1}$

Schritt 1.7.5

Dividiere $2$ durch $1$ .

$2$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $2$ und einen gegebenen Punkt $(1, 0)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (0) = 2 \cdot (x - (1))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y + 0 = 2 \cdot (x - 1)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Addiere $y$ und $0$ .

$y = 2 \cdot (x - 1)$

Schritt 2.3.2

Vereinfache $2 \cdot (x - 1)$ .

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Schritt 2.3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = 2 x + 2 \cdot - 1$

Schritt 2.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$y = 2 x - 2$

Schritt 3