Analysis Beispiele

$f (x) = - x^{3} - 3 x^{2} - 3$ at $x = - 3$

Schritt 1

Bestimme den entsprechenden $y$ -Wert zu $x = - 3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Setze $- 3$ für $x$ ein.

$y = - {(- 3)}^{3} - 3 {(- 3)}^{2} - 3$

Schritt 1.2

Vereinfache $- {(- 3)}^{3} - 3 {(- 3)}^{2} - 3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1.1

Potenziere $- 3$ mit $3$ .

$y = - - 27 - 3 {(- 3)}^{2} - 3$

Schritt 1.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 27$ .

$y = 27 - 3 {(- 3)}^{2} - 3$

Schritt 1.2.1.3

Multipliziere $- 3$ mit ${(- 3)}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1.3.1

Mutltipliziere $- 3$ mit ${(- 3)}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1.3.1.1

Potenziere $- 3$ mit $1$ .

$y = 27 + {(- 3)}^{1} {(- 3)}^{2} - 3$

Schritt 1.2.1.3.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = 27 + {(- 3)}^{1 + 2} - 3$

Schritt 1.2.1.3.2

Addiere $1$ und $2$ .

$y = 27 + {(- 3)}^{3} - 3$

Schritt 1.2.1.4

Potenziere $- 3$ mit $3$ .

$y = 27 - 27 - 3$

Schritt 1.2.2

Vereinfache durch Substrahieren von Zahlen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.2.1

Subtrahiere $27$ von $27$ .

$y = 0 - 3$

Schritt 1.2.2.2

Subtrahiere $3$ von $0$ .

$y = - 3$

Schritt 2

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = - 3$ und $y = - 3$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- x^{3} - 3 x^{2} - 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{3}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$- (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$- 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 3 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 3 x^{2} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$- 3 x^{2} - 6 x + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 3 x^{2} - 6 x + 0$

Schritt 2.4.2

Addiere $- 3 x^{2} - 6 x$ und $0$ .

$- 3 x^{2} - 6 x$

Schritt 2.5

Bestimme die Ableitung bei $x = - 3$ .

$- 3 {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3$

Schritt 2.6

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.1.1

Multipliziere $- 3$ mit ${(- 3)}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.1.1.1

Mutltipliziere $- 3$ mit ${(- 3)}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.1.1.1.1

Potenziere $- 3$ mit $1$ .

${(- 3)}^{1} {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3$

Schritt 2.6.1.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${(- 3)}^{1 + 2} - 6 \cdot - 3$

Schritt 2.6.1.1.2

Addiere $1$ und $2$ .

${(- 3)}^{3} - 6 \cdot - 3$

Schritt 2.6.1.2

Potenziere $- 3$ mit $3$ .

$- 27 - 6 \cdot - 3$

Schritt 2.6.1.3

Mutltipliziere $- 6$ mit $- 3$ .

$- 27 + 18$

Schritt 2.6.2

Addiere $- 27$ und $18$ .

$- 9$

Schritt 3

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Benutze die Steigung $- 9$ und einen gegebenen Punkt $(- 3, - 3)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (- 3) = - 9 \cdot (x - (- 3))$

Schritt 3.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y + 3 = - 9 \cdot (x + 3)$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Vereinfache $- 9 \cdot (x + 3)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1.1

Forme um.

$y + 3 = 0 + 0 - 9 \cdot (x + 3)$

Schritt 3.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y + 3 = - 9 \cdot (x + 3)$

Schritt 3.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y + 3 = - 9 x - 9 \cdot 3$

Schritt 3.3.1.4

Mutltipliziere $- 9$ mit $3$ .

$y + 3 = - 9 x - 27$

Schritt 3.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = - 9 x - 27 - 3$

Schritt 3.3.2.2

Subtrahiere $3$ von $- 27$ .

$y = - 9 x - 30$

Schritt 4