Analysis Beispiele

$f (x) = - 3 \cos (x) - 2 + \frac{3 \sqrt{2} π}{8} + \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ at $x = \frac{π}{4}$

Schritt 1

Bestimme den entsprechenden $y$ -Wert zu $x = \frac{π}{4}$ .

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Schritt 1.1

Setze $\frac{π}{4}$ für $x$ ein.

$y = - 3 \cos (\frac{π}{4}) - 2 + \frac{3 \sqrt{2} π}{8} + \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 1.2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 1.2.1

Entferne die Klammern.

$y = - 3 \cos (\frac{π}{4}) - 2 + \frac{3 \sqrt{2} π}{8} + \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 1.2.2

Vereinfache $- 3 \cos (\frac{π}{4}) - 2 + \frac{3 \sqrt{2} π}{8} + \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ .

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Schritt 1.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.2.1.1

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$y = - 3 \frac{\sqrt{2}}{2} - 2 + \frac{3 \sqrt{2} π}{8} + \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 1.2.2.1.2

Kombiniere $- 3$ und $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$y = \frac{- 3 \sqrt{2}}{2} - 2 + \frac{3 \sqrt{2} π}{8} + \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 1.2.2.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} - 2 + \frac{3 \sqrt{2} π}{8} + \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 1.2.2.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.2.2.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = - 2 + \frac{- 3 \sqrt{2} + 3 \sqrt{2}}{2} + \frac{3 \sqrt{2} π}{8}$

Schritt 1.2.2.2.2

Addiere $- 3 \sqrt{2}$ und $3 \sqrt{2}$ .

$y = - 2 + \frac{0}{2} + \frac{3 \sqrt{2} π}{8}$

Schritt 1.2.2.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.2.2.2.3.1

Dividiere $0$ durch $2$ .

$y = - 2 + 0 + \frac{3 \sqrt{2} π}{8}$

Schritt 1.2.2.2.3.2

Addiere $- 2$ und $0$ .

$y = - 2 + \frac{3 \sqrt{2} π}{8}$

Schritt 2

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = \frac{π}{4}$ und $y = - 2 + \frac{3 \sqrt{2} π}{8}$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 3 \cos (x) - 2 + \frac{3 \sqrt{2} π}{8} + \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 3 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [\frac{3 \sqrt{2} π}{8}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 \sqrt{2}}{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [\frac{3 \sqrt{2} π}{8}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 \sqrt{2}}{2}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 \cos (x)]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 \cos (x)$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [\frac{3 \sqrt{2} π}{8}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 \sqrt{2}}{2}]$

Schritt 2.2.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$- 3 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [\frac{3 \sqrt{2} π}{8}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 \sqrt{2}}{2}]$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$3 \sin (x) + \frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [\frac{3 \sqrt{2} π}{8}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 \sqrt{2}}{2}]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.3.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 \sin (x) + 0 + \frac{d}{d x} [\frac{3 \sqrt{2} π}{8}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 \sqrt{2}}{2}]$

Schritt 2.3.2

Da $\frac{3 \sqrt{2} π}{8}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{3 \sqrt{2} π}{8}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 \sin (x) + 0 + 0 + \frac{d}{d x} [\frac{3 \sqrt{2}}{2}]$

Schritt 2.3.3

Da $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 \sin (x) + 0 + 0 + 0$

Schritt 2.4

Vereine die Terme

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Schritt 2.4.1

Addiere $3 \sin (x)$ und $0$ .

$3 \sin (x) + 0 + 0$

Schritt 2.4.2

Addiere $3 \sin (x)$ und $0$ .

$3 \sin (x) + 0$

Schritt 2.4.3

Addiere $3 \sin (x)$ und $0$ .

$3 \sin (x)$

Schritt 2.5

Bestimme die Ableitung bei $x = \frac{π}{4}$ .

$3 \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 2.6

Vereinfache.

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Schritt 2.6.1

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$3 \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 2.6.2

Kombiniere $3$ und $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 3

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 3.1

Benutze die Steigung $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ und einen gegebenen Punkt $(\frac{π}{4}, - 2 + \frac{3 \sqrt{2} π}{8})$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (- 2 + \frac{3 \sqrt{2} π}{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot (x - (\frac{π}{4}))$

Schritt 3.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y + 2 - \frac{3 \sqrt{2} π}{8} = \frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot (x - \frac{π}{4})$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache $\frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot (x - \frac{π}{4})$ .

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Schritt 3.3.1.1

Forme um.

$y + 2 - \frac{3 \sqrt{2} π}{8} = 0 + 0 + \frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot (x - \frac{π}{4})$

Schritt 3.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y + 2 - \frac{3 \sqrt{2} π}{8} = \frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot (x - \frac{π}{4})$

Schritt 3.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y + 2 - \frac{3 \sqrt{2} π}{8} = \frac{3 \sqrt{2}}{2} x + \frac{3 \sqrt{2}}{2} (- \frac{π}{4})$

Schritt 3.3.1.4

Kombiniere $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ und $x$ .

$y + 2 - \frac{3 \sqrt{2} π}{8} = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} + \frac{3 \sqrt{2}}{2} (- \frac{π}{4})$

Schritt 3.3.1.5

Multipliziere $\frac{3 \sqrt{2}}{2} (- \frac{π}{4})$ .

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Schritt 3.3.1.5.1

Mutltipliziere $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ mit $\frac{π}{4}$ .

$y + 2 - \frac{3 \sqrt{2} π}{8} = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} - \frac{3 \sqrt{2} π}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.3.1.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$y + 2 - \frac{3 \sqrt{2} π}{8} = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} - \frac{3 \sqrt{2} π}{8}$

Schritt 3.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.2.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y - \frac{3 \sqrt{2} π}{8} = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} - \frac{3 \sqrt{2} π}{8} - 2$

Schritt 3.3.2.2

Addiere $\frac{3 \sqrt{2} π}{8}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} - \frac{3 \sqrt{2} π}{8} - 2 + \frac{3 \sqrt{2} π}{8}$

Schritt 3.3.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = - 2 + \frac{3 \sqrt{2} x}{2} + \frac{- 3 \sqrt{2} π + 3 \sqrt{2} π}{8}$

Schritt 3.3.2.4

Addiere $- 3 \sqrt{2} π$ und $3 \sqrt{2} π$ .

$y = - 2 + \frac{3 \sqrt{2} x}{2} + \frac{0}{8}$

Schritt 3.3.2.5

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- 2 + \frac{3 \sqrt{2} x}{2} + \frac{0}{8}$ .

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Schritt 3.3.2.5.1

Dividiere $0$ durch $8$ .

$y = - 2 + \frac{3 \sqrt{2} x}{2} + 0$

Schritt 3.3.2.5.2

Addiere $- 2 + \frac{3 \sqrt{2} x}{2}$ und $0$ .

$y = - 2 + \frac{3 \sqrt{2} x}{2}$

Schritt 3.3.3

Schreibe in $y = m x + b$ -Form.

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Schritt 3.3.3.1

Stelle $- 2$ und $\frac{3 \sqrt{2} x}{2}$ um.

$y = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} - 2$

Schritt 3.3.3.2

Stelle die Terme um.

$y = \frac{3 \sqrt{2}}{2} x - 2$

Schritt 4