Analysis Beispiele

$g (x) = \frac{6 x}{x + 3}$ at $(- 1, - 3)$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = - 1$ und $y = - 3$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{6 x}{x + 3}$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 3}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 3}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = x + 3$ .

$6 \frac{(x + 3) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 1.3

Differenziere.

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Schritt 1.3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$6 \frac{(x + 3) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 1.3.2

Mutltipliziere $x + 3$ mit $1$ .

$6 \frac{x + 3 - x \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 1.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$6 \frac{x + 3 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 1.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$6 \frac{x + 3 - x (1 + \frac{d}{d x} [3])}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 1.3.5

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$6 \frac{x + 3 - x (1 + 0)}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 1.3.6

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.3.6.1

Addiere $1$ und $0$ .

$6 \frac{x + 3 - x \cdot 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 1.3.6.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$6 \frac{x + 3 - x}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 1.3.6.3

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$6 \frac{0 + 3}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 1.3.6.4

Addiere $0$ und $3$ .

$6 \frac{3}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 1.3.6.5

Kombiniere $6$ und $\frac{3}{{(x + 3)}^{2}}$ .

$\frac{6 \cdot 3}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 1.3.6.6

Mutltipliziere $6$ mit $3$ .

$\frac{18}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 1.4

Bestimme die Ableitung bei $x = - 1$ .

$\frac{18}{{((- 1) + 3)}^{2}}$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.5.1.1

Addiere $- 1$ und $3$ .

$\frac{18}{2^{2}}$

Schritt 1.5.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{18}{4}$

Schritt 1.5.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $18$ und $4$ .

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Schritt 1.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $18$ heraus.

$\frac{2 (9)}{4}$

Schritt 1.5.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.5.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.5.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{9}{2}$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $\frac{9}{2}$ und einen gegebenen Punkt $(- 1, - 3)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (- 3) = \frac{9}{2} \cdot (x - (- 1))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y + 3 = \frac{9}{2} \cdot (x + 1)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache $\frac{9}{2} \cdot (x + 1)$ .

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Schritt 2.3.1.1

Forme um.

$y + 3 = 0 + 0 + \frac{9}{2} \cdot (x + 1)$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y + 3 = \frac{9}{2} \cdot (x + 1)$

Schritt 2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y + 3 = \frac{9}{2} x + \frac{9}{2} \cdot 1$

Schritt 2.3.1.4

Kombiniere $\frac{9}{2}$ und $x$ .

$y + 3 = \frac{9 x}{2} + \frac{9}{2} \cdot 1$

Schritt 2.3.1.5

Mutltipliziere $\frac{9}{2}$ mit $1$ .

$y + 3 = \frac{9 x}{2} + \frac{9}{2}$

Schritt 2.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.2.1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = \frac{9 x}{2} + \frac{9}{2} - 3$

Schritt 2.3.2.2

Um $- 3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{9 x}{2} + \frac{9}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 2.3.2.3

Kombiniere $- 3$ und $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{9 x}{2} + \frac{9}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2}$

Schritt 2.3.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{9 x}{2} + \frac{9 - 3 \cdot 2}{2}$

Schritt 2.3.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.2.5.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

$y = \frac{9 x}{2} + \frac{9 - 6}{2}$

Schritt 2.3.2.5.2

Subtrahiere $6$ von $9$ .

$y = \frac{9 x}{2} + \frac{3}{2}$

Schritt 2.3.3

Stelle die Terme um.

$y = \frac{9}{2} x + \frac{3}{2}$

Schritt 3