Analysis Beispiele

$y = \ln (x^{2} - 3)$ , $(2, 0)$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 2$ und $y = 0$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = x^{2} - 3$ .

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Schritt 1.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} - 3$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} - 3]$

Schritt 1.1.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3]$

Schritt 1.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} - 3$ .

$\frac{1}{x^{2} - 3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3]$

Schritt 1.2

Differenziere.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{1}{x^{2} - 3} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2} - 3} (2 x + \frac{d}{d x} [- 3])$

Schritt 1.2.3

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{x^{2} - 3} (2 x + 0)$

Schritt 1.2.4

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.2.4.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{1}{x^{2} - 3} (2 x)$

Schritt 1.2.4.2

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{x^{2} - 3}$ .

$\frac{2}{x^{2} - 3} x$

Schritt 1.2.4.3

Kombiniere $\frac{2}{x^{2} - 3}$ und $x$ .

$\frac{2 x}{x^{2} - 3}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung bei $x = 2$ .

$\frac{2 (2)}{{(2)}^{2} - 3}$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{4}{2^{2} - 3}$

Schritt 1.4.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.4.2.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{4}{4 - 3}$

Schritt 1.4.2.2

Subtrahiere $3$ von $4$ .

$\frac{4}{1}$

Schritt 1.4.3

Dividiere $4$ durch $1$ .

$4$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $4$ und einen gegebenen Punkt $(2, 0)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (0) = 4 \cdot (x - (2))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y + 0 = 4 \cdot (x - 2)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Addiere $y$ und $0$ .

$y = 4 \cdot (x - 2)$

Schritt 2.3.2

Vereinfache $4 \cdot (x - 2)$ .

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Schritt 2.3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = 4 x + 4 \cdot - 2$

Schritt 2.3.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 2$ .

$y = 4 x - 8$

Schritt 3