Analysis Beispiele

$y = \sqrt[3]{x^{2} + 4}$ at $x = 2$

Schritt 1

Bestimme den entsprechenden $y$ -Wert zu $x = 2$ .

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Schritt 1.1

Setze $2$ für $x$ ein.

$y = \sqrt[3]{{(2)}^{2} + 4}$

Schritt 1.2

Vereinfache $\sqrt[3]{{(2)}^{2} + 4}$ .

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Schritt 1.2.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$y = \sqrt[3]{4 + 4}$

Schritt 1.2.2

Addiere $4$ und $4$ .

$y = \sqrt[3]{8}$

Schritt 1.2.3

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$y = \sqrt[3]{2^{3}}$

Schritt 1.2.4

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$y = 2$

Schritt 2

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 2$ und $y = 2$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x^{2} + 4}$ als ${(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ und $g (x) = x^{2} + 4$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} + 4$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 4$ .

$\frac{1}{3} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

Schritt 2.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

Schritt 2.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

Schritt 2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{3} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

Schritt 2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{1}{3} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

Schritt 2.6.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$\frac{1}{3} {(x^{2} + 4)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

Schritt 2.7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{3} {(x^{2} + 4)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

Schritt 2.7.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und ${(x^{2} + 4)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{{(x^{2} + 4)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

Schritt 2.7.3

Bringe ${(x^{2} + 4)}^{- \frac{2}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3 {(x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

Schritt 2.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{1}{3 {(x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4])$

Schritt 2.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{3 {(x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}} (2 x + \frac{d}{d x} [4])$

Schritt 2.10

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{3 {(x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}} (2 x + 0)$

Schritt 2.11

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.11.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{1}{3 {(x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}} (2 x)$

Schritt 2.11.2

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{3 {(x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{2}{3 {(x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}} x$

Schritt 2.11.3

Kombiniere $\frac{2}{3 {(x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$ und $x$ .

$\frac{2 x}{3 {(x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.12

Bestimme die Ableitung bei $x = 2$ .

$\frac{2 (2)}{3 {({(2)}^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.13

Vereinfache.

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Schritt 2.13.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{4}{3 {(2^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.13.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.13.2.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{4}{3 {(4 + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.13.2.2

Addiere $4$ und $4$ .

$\frac{4}{3 \cdot 8^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.13.2.3

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$\frac{4}{3 \cdot {(2^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.13.2.4

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4}{3 \cdot 2^{3 (\frac{2}{3})}}$

Schritt 2.13.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.13.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4}{3 \cdot 2^{3 (\frac{2}{3})}}$

Schritt 2.13.2.5.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4}{3 \cdot 2^{2}}$

Schritt 2.13.2.6

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{4}{3 \cdot 4}$

Schritt 2.13.3

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.13.3.1

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$\frac{4}{12}$

Schritt 2.13.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $12$ .

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Schritt 2.13.3.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$\frac{4 (1)}{12}$

Schritt 2.13.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.13.3.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}$

Schritt 2.13.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}$

Schritt 2.13.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{3}$

Schritt 3

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 3.1

Benutze die Steigung $\frac{1}{3}$ und einen gegebenen Punkt $(2, 2)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (2) = \frac{1}{3} \cdot (x - (2))$

Schritt 3.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - 2 = \frac{1}{3} \cdot (x - 2)$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache $\frac{1}{3} \cdot (x - 2)$ .

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Schritt 3.3.1.1

Forme um.

$y - 2 = 0 + 0 + \frac{1}{3} \cdot (x - 2)$

Schritt 3.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y - 2 = \frac{1}{3} \cdot (x - 2)$

Schritt 3.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 2 = \frac{1}{3} x + \frac{1}{3} \cdot - 2$

Schritt 3.3.1.4

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x$ .

$y - 2 = \frac{x}{3} + \frac{1}{3} \cdot - 2$

Schritt 3.3.1.5

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $- 2$ .

$y - 2 = \frac{x}{3} + \frac{- 2}{3}$

Schritt 3.3.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y - 2 = \frac{x}{3} - \frac{2}{3}$

Schritt 3.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.2.1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = \frac{x}{3} - \frac{2}{3} + 2$

Schritt 3.3.2.2

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{x}{3} - \frac{2}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 3.3.2.3

Kombiniere $2$ und $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{x}{3} - \frac{2}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3}$

Schritt 3.3.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{x}{3} + \frac{- 2 + 2 \cdot 3}{3}$

Schritt 3.3.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.2.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$y = \frac{x}{3} + \frac{- 2 + 6}{3}$

Schritt 3.3.2.5.2

Addiere $- 2$ und $6$ .

$y = \frac{x}{3} + \frac{4}{3}$

Schritt 3.3.3

Stelle die Terme um.

$y = \frac{1}{3} x + \frac{4}{3}$

Schritt 4