Analysis Beispiele

$f (x) = 8 \ln (x)$ at $x = 1$

Schritt 1

Bestimme den entsprechenden $y$ -Wert zu $x = 1$ .

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Schritt 1.1

Setze $1$ für $x$ ein.

$y = 8 \ln (1)$

Schritt 1.2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 1.2.1

Entferne die Klammern.

$y = 8 \ln (1)$

Schritt 1.2.2

Vereinfache $8 \ln (1)$ .

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Schritt 1.2.2.1

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$y = 8 \cdot 0$

Schritt 1.2.2.2

Mutltipliziere $8$ mit $0$ .

$y = 0$

Schritt 2

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 1$ und $y = 0$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 2.1

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 \ln (x)$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$8 \frac{1}{x}$

Schritt 2.3

Kombiniere $8$ und $\frac{1}{x}$ .

$\frac{8}{x}$

Schritt 2.4

Bestimme die Ableitung bei $x = 1$ .

$\frac{8}{1}$

Schritt 2.5

Dividiere $8$ durch $1$ .

$8$

Schritt 3

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 3.1

Benutze die Steigung $8$ und einen gegebenen Punkt $(1, 0)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (0) = 8 \cdot (x - (1))$

Schritt 3.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y + 0 = 8 \cdot (x - 1)$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.1

Addiere $y$ und $0$ .

$y = 8 \cdot (x - 1)$

Schritt 3.3.2

Vereinfache $8 \cdot (x - 1)$ .

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Schritt 3.3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = 8 x + 8 \cdot - 1$

Schritt 3.3.2.2

Mutltipliziere $8$ mit $- 1$ .

$y = 8 x - 8$

Schritt 4