Analysis Beispiele

$f (x) = - \frac{1}{x - 1}$ at $(- 5, \frac{1}{6})$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = - 5$ und $y = \frac{1}{6}$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = - 1$ und $g (x) = \frac{1}{x - 1}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x - 1}] + \frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.2

Schreibe $\frac{1}{x - 1}$ als ${(x - 1)}^{- 1}$ um.

$- \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{- 1}] + \frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x - 1$ .

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Schritt 1.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x - 1$ .

$- (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x - 1]) + \frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 1]) + \frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x - 1$ .

$- (- {(x - 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 1]) + \frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.4

Differenziere.

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Schritt 1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 ({(x - 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 1]) + \frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.4.2

Mutltipliziere ${(x - 1)}^{- 2}$ mit $1$ .

${(x - 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 1] + \frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.4.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

${(x - 1)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + \frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.4.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

${(x - 1)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + \frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.4.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

${(x - 1)}^{- 2} (1 + 0) + \frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.4.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.4.6.1

Addiere $1$ und $0$ .

${(x - 1)}^{- 2} \cdot 1 + \frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.4.6.2

Mutltipliziere ${(x - 1)}^{- 2}$ mit $1$ .

${(x - 1)}^{- 2} + \frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.4.7

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

${(x - 1)}^{- 2} + \frac{1}{x - 1} \cdot 0$

Schritt 1.4.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.4.8.1

Mutltipliziere $\frac{1}{x - 1}$ mit $0$ .

${(x - 1)}^{- 2} + 0$

Schritt 1.4.8.2

Addiere ${(x - 1)}^{- 2}$ und $0$ .

${(x - 1)}^{- 2}$

Schritt 1.5

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 1.6

Bestimme die Ableitung bei $x = - 5$ .

$\frac{1}{{((- 5) - 1)}^{2}}$

Schritt 1.7

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.7.1

Subtrahiere $1$ von $- 5$ .

$\frac{1}{{(- 6)}^{2}}$

Schritt 1.7.2

Potenziere $- 6$ mit $2$ .

$\frac{1}{36}$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $\frac{1}{36}$ und einen gegebenen Punkt $(- 5, \frac{1}{6})$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (\frac{1}{6}) = \frac{1}{36} \cdot (x - (- 5))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - \frac{1}{6} = \frac{1}{36} \cdot (x + 5)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache $\frac{1}{36} \cdot (x + 5)$ .

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Schritt 2.3.1.1

Forme um.

$y - \frac{1}{6} = 0 + 0 + \frac{1}{36} \cdot (x + 5)$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y - \frac{1}{6} = \frac{1}{36} \cdot (x + 5)$

Schritt 2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - \frac{1}{6} = \frac{1}{36} x + \frac{1}{36} \cdot 5$

Schritt 2.3.1.4

Kombiniere $\frac{1}{36}$ und $x$ .

$y - \frac{1}{6} = \frac{x}{36} + \frac{1}{36} \cdot 5$

Schritt 2.3.1.5

Kombiniere $\frac{1}{36}$ und $5$ .

$y - \frac{1}{6} = \frac{x}{36} + \frac{5}{36}$

Schritt 2.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.2.1

Addiere $\frac{1}{6}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = \frac{x}{36} + \frac{5}{36} + \frac{1}{6}$

Schritt 2.3.2.2

Um $\frac{1}{6}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6}{6}$ .

$y = \frac{x}{36} + \frac{5}{36} + \frac{1}{6} \cdot \frac{6}{6}$

Schritt 2.3.2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $36$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.3.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{6}$ mit $\frac{6}{6}$ .

$y = \frac{x}{36} + \frac{5}{36} + \frac{6}{6 \cdot 6}$

Schritt 2.3.2.3.2

Mutltipliziere $6$ mit $6$ .

$y = \frac{x}{36} + \frac{5}{36} + \frac{6}{36}$

Schritt 2.3.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{x}{36} + \frac{5 + 6}{36}$

Schritt 2.3.2.5

Addiere $5$ und $6$ .

$y = \frac{x}{36} + \frac{11}{36}$

Schritt 2.3.3

Stelle die Terme um.

$y = \frac{1}{36} x + \frac{11}{36}$

Schritt 3