Analysis Beispiele

$f (x) = (x^{2} + 7) (5 x + 4)$ ; $x = 2$

Schritt 1

Bestimme den entsprechenden $y$ -Wert zu $x = 2$ .

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Schritt 1.1

Setze $2$ für $x$ ein.

$y = ({(2)}^{2} + 7) (5 (2) + 4)$

Schritt 1.2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 1.2.1

Entferne die Klammern.

$y = (2^{2} + 7) (5 (2) + 4)$

Schritt 1.2.2

Entferne die Klammern.

$y = ({(2)}^{2} + 7) (5 (2) + 4)$

Schritt 1.2.3

Vereinfache $({(2)}^{2} + 7) (5 (2) + 4)$ .

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Schritt 1.2.3.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$y = (4 + 7) (5 (2) + 4)$

Schritt 1.2.3.2

Addiere $4$ und $7$ .

$y = 11 (5 (2) + 4)$

Schritt 1.2.3.3

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$y = 11 (10 + 4)$

Schritt 1.2.3.4

Addiere $10$ und $4$ .

$y = 11 \cdot 14$

Schritt 1.2.3.5

Mutltipliziere $11$ mit $14$ .

$y = 154$

Schritt 2

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 2$ und $y = 154$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2} + 7$ und $g (x) = 5 x + 4$ .

$(x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [5 x + 4] + (5 x + 4) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]$

Schritt 2.2

Differenziere.

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Schritt 2.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 x + 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$(x^{2} + 7) (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [4]) + (5 x + 4) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]$

Schritt 2.2.2

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x^{2} + 7) (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]) + (5 x + 4) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(x^{2} + 7) (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]) + (5 x + 4) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]$

Schritt 2.2.4

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$(x^{2} + 7) (5 + \frac{d}{d x} [4]) + (5 x + 4) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]$

Schritt 2.2.5

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(x^{2} + 7) (5 + 0) + (5 x + 4) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]$

Schritt 2.2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.6.1

Addiere $5$ und $0$ .

$(x^{2} + 7) \cdot 5 + (5 x + 4) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]$

Schritt 2.2.6.2

Bringe $5$ auf die linke Seite von $x^{2} + 7$ .

$5 \cdot (x^{2} + 7) + (5 x + 4) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]$

Schritt 2.2.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 7$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$5 (x^{2} + 7) + (5 x + 4) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7])$

Schritt 2.2.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$5 (x^{2} + 7) + (5 x + 4) (2 x + \frac{d}{d x} [7])$

Schritt 2.2.9

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$5 (x^{2} + 7) + (5 x + 4) (2 x + 0)$

Schritt 2.2.10

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.10.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$5 (x^{2} + 7) + (5 x + 4) (2 x)$

Schritt 2.2.10.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $5 x + 4$ .

$5 (x^{2} + 7) + 2 \cdot (5 x + 4) x$

Schritt 2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$5 x^{2} + 5 \cdot 7 + 2 (5 x + 4) x$

Schritt 2.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$5 x^{2} + 5 \cdot 7 + (2 (5 x) + 2 \cdot 4) x$

Schritt 2.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$5 x^{2} + 5 \cdot 7 + 2 (5 x) x + 2 \cdot 4 x$

Schritt 2.3.4

Vereine die Terme

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Schritt 2.3.4.1

Mutltipliziere $5$ mit $7$ .

$5 x^{2} + 35 + 2 (5 x) x + 2 \cdot 4 x$

Schritt 2.3.4.2

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$5 x^{2} + 35 + 10 x \cdot x + 2 \cdot 4 x$

Schritt 2.3.4.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$5 x^{2} + 35 + 10 (x^{1} x) + 2 \cdot 4 x$

Schritt 2.3.4.4

Potenziere $x$ mit $1$ .

$5 x^{2} + 35 + 10 (x^{1} x^{1}) + 2 \cdot 4 x$

Schritt 2.3.4.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$5 x^{2} + 35 + 10 x^{1 + 1} + 2 \cdot 4 x$

Schritt 2.3.4.6

Addiere $1$ und $1$ .

$5 x^{2} + 35 + 10 x^{2} + 2 \cdot 4 x$

Schritt 2.3.4.7

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$5 x^{2} + 35 + 10 x^{2} + 8 x$

Schritt 2.3.4.8

Addiere $5 x^{2}$ und $10 x^{2}$ .

$15 x^{2} + 35 + 8 x$

Schritt 2.3.5

Stelle die Terme um.

$15 x^{2} + 8 x + 35$

Schritt 2.4

Bestimme die Ableitung bei $x = 2$ .

$15 {(2)}^{2} + 8 (2) + 35$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.5.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$15 \cdot 4 + 8 (2) + 35$

Schritt 2.5.1.2

Mutltipliziere $15$ mit $4$ .

$60 + 8 (2) + 35$

Schritt 2.5.1.3

Mutltipliziere $8$ mit $2$ .

$60 + 16 + 35$

Schritt 2.5.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 2.5.2.1

Addiere $60$ und $16$ .

$76 + 35$

Schritt 2.5.2.2

Addiere $76$ und $35$ .

$111$

Schritt 3

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 3.1

Benutze die Steigung $111$ und einen gegebenen Punkt $(2, 154)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (154) = 111 \cdot (x - (2))$

Schritt 3.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - 154 = 111 \cdot (x - 2)$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache $111 \cdot (x - 2)$ .

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Schritt 3.3.1.1

Forme um.

$y - 154 = 0 + 0 + 111 \cdot (x - 2)$

Schritt 3.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y - 154 = 111 \cdot (x - 2)$

Schritt 3.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 154 = 111 x + 111 \cdot - 2$

Schritt 3.3.1.4

Mutltipliziere $111$ mit $- 2$ .

$y - 154 = 111 x - 222$

Schritt 3.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.2.1

Addiere $154$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = 111 x - 222 + 154$

Schritt 3.3.2.2

Addiere $- 222$ und $154$ .

$y = 111 x - 68$

Schritt 4