Analysis Beispiele

$y = x^{\sin (x)}$ , $(\frac{π}{2}, \frac{π}{2})$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = \frac{π}{2}$ und $y = \frac{π}{2}$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Wende die Logarithmengesetze an, um die Ableitung zu vereinfachen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Schreibe $x^{\sin (x)}$ als $e^{\ln (x^{\sin (x)})}$ um.

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{\sin (x)})}]$

Schritt 1.1.2

Zerlege $\ln (x^{\sin (x)})$ durch Herausziehen von $\sin (x)$ aus dem Logarithmus.

$\frac{d}{d x} [e^{\sin (x) \ln (x)}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = \sin (x) \ln (x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\sin (x) \ln (x)$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\sin (x) \ln (x)]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [\sin (x) \ln (x)]$

Schritt 1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $\sin (x) \ln (x)$ .

$e^{\sin (x) \ln (x)} \frac{d}{d x} [\sin (x) \ln (x)]$

Schritt 1.3

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = \ln (x)$ .

$e^{\sin (x) \ln (x)} (\sin (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 1.4

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$e^{\sin (x) \ln (x)} (\sin (x) \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 1.5

Kombiniere $\sin (x)$ und $\frac{1}{x}$ .

$e^{\sin (x) \ln (x)} (\frac{\sin (x)}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 1.6

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$e^{\sin (x) \ln (x)} (\frac{\sin (x)}{x} + \ln (x) \cos (x))$

Schritt 1.7

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$e^{\sin (x) \ln (x)} \frac{\sin (x)}{x} + e^{\sin (x) \ln (x)} (\ln (x) \cos (x))$

Schritt 1.7.2

Kombiniere $e^{\sin (x) \ln (x)}$ und $\frac{\sin (x)}{x}$ .

$\frac{e^{\sin (x) \ln (x)} \sin (x)}{x} + e^{\sin (x) \ln (x)} \ln (x) \cos (x)$

Schritt 1.7.3

Stelle die Terme um.

$e^{\sin (x) \ln (x)} \cos (x) \ln (x) + \frac{e^{\sin (x) \ln (x)} \sin (x)}{x}$

Schritt 1.8

Bestimme die Ableitung bei $x = \frac{π}{2}$ .

$e^{\sin (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2})} \cos (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2}) + \frac{e^{\sin (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2})} \sin (\frac{π}{2})}{\frac{π}{2}}$

Schritt 1.9

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.9.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.9.1.1

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$e^{1 \ln (\frac{π}{2})} \cos (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2}) + \frac{e^{\sin (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2})} \sin (\frac{π}{2})}{\frac{π}{2}}$

Schritt 1.9.1.2

Vereinfache $1 \ln (\frac{π}{2})$ , indem du $1$ in den Logarithmus ziehst.

$e^{\ln ({(\frac{π}{2})}^{1})} \cos (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2}) + \frac{e^{\sin (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2})} \sin (\frac{π}{2})}{\frac{π}{2}}$

Schritt 1.9.1.3

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

${(\frac{π}{2})}^{1} \cos (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2}) + \frac{e^{\sin (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2})} \sin (\frac{π}{2})}{\frac{π}{2}}$

Schritt 1.9.1.4

Vereinfache.

$\frac{π}{2} \cos (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2}) + \frac{e^{\sin (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2})} \sin (\frac{π}{2})}{\frac{π}{2}}$

Schritt 1.9.1.5

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{2})$ ist $0$ .

$\frac{π}{2} \cdot 0 \ln (\frac{π}{2}) + \frac{e^{\sin (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2})} \sin (\frac{π}{2})}{\frac{π}{2}}$

Schritt 1.9.1.6

Mutltipliziere $\frac{π}{2}$ mit $0$ .

$0 \ln (\frac{π}{2}) + \frac{e^{\sin (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2})} \sin (\frac{π}{2})}{\frac{π}{2}}$

Schritt 1.9.1.7

Mutltipliziere $0$ mit $\ln (\frac{π}{2})$ .

$0 + \frac{e^{\sin (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2})} \sin (\frac{π}{2})}{\frac{π}{2}}$

Schritt 1.9.1.8

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$0 + e^{\sin (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2})} \sin (\frac{π}{2}) \frac{2}{π}$

Schritt 1.9.1.9

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$0 + e^{1 \ln (\frac{π}{2})} \sin (\frac{π}{2}) \frac{2}{π}$

Schritt 1.9.1.10

Vereinfache $1 \ln (\frac{π}{2})$ , indem du $1$ in den Logarithmus ziehst.

$0 + e^{\ln ({(\frac{π}{2})}^{1})} \sin (\frac{π}{2}) \frac{2}{π}$

Schritt 1.9.1.11

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$0 + {(\frac{π}{2})}^{1} \sin (\frac{π}{2}) \frac{2}{π}$

Schritt 1.9.1.12

Vereinfache.

$0 + \frac{π}{2} \sin (\frac{π}{2}) \frac{2}{π}$

Schritt 1.9.1.13

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$0 + \frac{π}{2} \cdot 1 \frac{2}{π}$

Schritt 1.9.1.14

Mutltipliziere $\frac{π}{2}$ mit $1$ .

$0 + \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{π}$

Schritt 1.9.1.15

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.9.1.15.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$0 + \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{π}$

Schritt 1.9.1.15.2

Forme den Ausdruck um.

$0 + \frac{1}{2} \cdot 2$

Schritt 1.9.1.16

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.9.1.16.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$0 + \frac{1}{2} \cdot 2$

Schritt 1.9.1.16.2

Forme den Ausdruck um.

$0 + 1$

Schritt 1.9.2

Addiere $0$ und $1$ .

$1$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Benutze die Steigung $1$ und einen gegebenen Punkt $(\frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (\frac{π}{2}) = 1 \cdot (x - (\frac{π}{2}))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - \frac{π}{2} = 1 \cdot (x - \frac{π}{2})$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Mutltipliziere $x - \frac{π}{2}$ mit $1$ .

$y - \frac{π}{2} = x - \frac{π}{2}$

Schritt 2.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1

Addiere $\frac{π}{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = x - \frac{π}{2} + \frac{π}{2}$

Schritt 2.3.2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - \frac{π}{2} + \frac{π}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.2.1

Addiere $- \frac{π}{2}$ und $\frac{π}{2}$ .

$y = x + 0$

Schritt 2.3.2.2.2

Addiere $x$ und $0$ .

$y = x$

Schritt 3