Analysis Beispiele

y = x^{sin (x)}

$y = x^{\sin (x)}$ ,

(\frac{π}{2}, \frac{π}{2})

$(\frac{π}{2}, \frac{π}{2})$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei

x = \frac{π}{2}

$x = \frac{π}{2}$ und

y = \frac{π}{2}

$y = \frac{π}{2}$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Wende die Logarithmengesetze an, um die Ableitung zu vereinfachen.

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Schritt 1.1.1

Schreibe

x^{sin (x)}

$x^{\sin (x)}$ als

e^{ln (x^{sin (x)})}

$e^{\ln (x^{\sin (x)})}$ um.

\frac{d}{d x} [e^{ln (x^{sin (x)})}]

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{\sin (x)})}]$

Schritt 1.1.2

Zerlege

ln (x^{sin (x)})

$\ln (x^{\sin (x)})$ durch Herausziehen von

sin (x)

$\sin (x)$ aus dem Logarithmus.

\frac{d}{d x} [e^{sin (x) ln (x)}]

$\frac{d}{d x} [e^{\sin (x) \ln (x)}]$

\frac{d}{d x} [e^{sin (x) ln (x)}]

$\frac{d}{d x} [e^{\sin (x) \ln (x)}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass

\frac{d}{d x} [f (g (x))]

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist

f' (g (x)) g' (x)

$f' (g (x)) g' (x)$ , mit

f (x) = e^{x}

$f (x) = e^{x}$ und

g (x) = sin (x) ln (x)

$g (x) = \sin (x) \ln (x)$ .

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Schritt 1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze

u

$u$ durch

sin (x) ln (x)

$\sin (x) \ln (x)$ .

\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [sin (x) ln (x)]

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\sin (x) \ln (x)]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass

\frac{d}{d u} [a^{u}]

$\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich

a^{u} ln (a)

$a^{u} \ln (a)$ ist, wobei

a

$a$ =

e

$e$ .

e^{u} \frac{d}{d x} [sin (x) ln (x)]

$e^{u} \frac{d}{d x} [\sin (x) \ln (x)]$

Schritt 1.2.3

Ersetze alle

u

$u$ durch

sin (x) ln (x)

$\sin (x) \ln (x)$ .

e^{sin (x) ln (x)} \frac{d}{d x} [sin (x) ln (x)]

$e^{\sin (x) \ln (x)} \frac{d}{d x} [\sin (x) \ln (x)]$

e^{sin (x) ln (x)} \frac{d}{d x} [sin (x) ln (x)]

$e^{\sin (x) \ln (x)} \frac{d}{d x} [\sin (x) \ln (x)]$

Schritt 1.3

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass

\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]

$\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich

f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]

$f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit

f (x) = sin (x)

$f (x) = \sin (x)$ und

g (x) = ln (x)

$g (x) = \ln (x)$ .

e^{sin (x) ln (x)} (sin (x) \frac{d}{d x} [ln (x)] + ln (x) \frac{d}{d x} [sin (x)])

$e^{\sin (x) \ln (x)} (\sin (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 1.4

Die Ableitung von

ln (x)

$\ln (x)$ nach

x

$x$ ist

\frac{1}{x}

$\frac{1}{x}$ .

e^{sin (x) ln (x)} (sin (x) \frac{1}{x} + ln (x) \frac{d}{d x} [sin (x)])

$e^{\sin (x) \ln (x)} (\sin (x) \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 1.5

Kombiniere

sin (x)

$\sin (x)$ und

\frac{1}{x}

$\frac{1}{x}$ .

e^{sin (x) ln (x)} (\frac{sin (x)}{x} + ln (x) \frac{d}{d x} [sin (x)])

$e^{\sin (x) \ln (x)} (\frac{\sin (x)}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 1.6

Die Ableitung von

sin (x)

$\sin (x)$ nach

x

$x$ ist

cos (x)

$\cos (x)$ .

e^{sin (x) ln (x)} (\frac{sin (x)}{x} + ln (x) cos (x))

$e^{\sin (x) \ln (x)} (\frac{\sin (x)}{x} + \ln (x) \cos (x))$

Schritt 1.7

Vereinfache.

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Schritt 1.7.1

Wende das Distributivgesetz an.

e^{sin (x) ln (x)} \frac{sin (x)}{x} + e^{sin (x) ln (x)} (ln (x) cos (x))

$e^{\sin (x) \ln (x)} \frac{\sin (x)}{x} + e^{\sin (x) \ln (x)} (\ln (x) \cos (x))$

Schritt 1.7.2

Kombiniere

e^{sin (x) ln (x)}

$e^{\sin (x) \ln (x)}$ und

\frac{sin (x)}{x}

$\frac{\sin (x)}{x}$ .

\frac{e^{sin (x) ln (x)} sin (x)}{x} + e^{sin (x) ln (x)} ln (x) cos (x)

$\frac{e^{\sin (x) \ln (x)} \sin (x)}{x} + e^{\sin (x) \ln (x)} \ln (x) \cos (x)$

Schritt 1.7.3

Stelle die Terme um.

e^{sin (x) ln (x)} cos (x) ln (x) + \frac{e^{sin (x) ln (x)} sin (x)}{x}

$e^{\sin (x) \ln (x)} \cos (x) \ln (x) + \frac{e^{\sin (x) \ln (x)} \sin (x)}{x}$

e^{sin (x) ln (x)} cos (x) ln (x) + \frac{e^{sin (x) ln (x)} sin (x)}{x}

$e^{\sin (x) \ln (x)} \cos (x) \ln (x) + \frac{e^{\sin (x) \ln (x)} \sin (x)}{x}$

Schritt 1.8

Bestimme die Ableitung bei

x = \frac{π}{2}

$x = \frac{π}{2}$ .

e^{sin (\frac{π}{2}) ln (\frac{π}{2})} cos (\frac{π}{2}) ln (\frac{π}{2}) + \frac{e^{sin (\frac{π}{2}) ln (\frac{π}{2})} sin (\frac{π}{2})}{\frac{π}{2}}

$e^{\sin (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2})} \cos (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2}) + \frac{e^{\sin (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2})} \sin (\frac{π}{2})}{\frac{π}{2}}$

Schritt 1.9

Vereinfache.

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Schritt 1.9.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.9.1.1

Der genau Wert von

sin (\frac{π}{2})

$\sin (\frac{π}{2})$ ist

1

$1$ .

e^{1 ln (\frac{π}{2})} cos (\frac{π}{2}) ln (\frac{π}{2}) + \frac{e^{sin (\frac{π}{2}) ln (\frac{π}{2})} sin (\frac{π}{2})}{\frac{π}{2}}

$e^{1 \ln (\frac{π}{2})} \cos (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2}) + \frac{e^{\sin (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2})} \sin (\frac{π}{2})}{\frac{π}{2}}$

Schritt 1.9.1.2

Vereinfache

1 ln (\frac{π}{2})

$1 \ln (\frac{π}{2})$ , indem du

1

$1$ in den Logarithmus ziehst.

e^{ln ({(\frac{π}{2})}^{1})} cos (\frac{π}{2}) ln (\frac{π}{2}) + \frac{e^{sin (\frac{π}{2}) ln (\frac{π}{2})} sin (\frac{π}{2})}{\frac{π}{2}}

$e^{\ln ({(\frac{π}{2})}^{1})} \cos (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2}) + \frac{e^{\sin (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2})} \sin (\frac{π}{2})}{\frac{π}{2}}$

Schritt 1.9.1.3

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

{(\frac{π}{2})}^{1} cos (\frac{π}{2}) ln (\frac{π}{2}) + \frac{e^{sin (\frac{π}{2}) ln (\frac{π}{2})} sin (\frac{π}{2})}{\frac{π}{2}}

${(\frac{π}{2})}^{1} \cos (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2}) + \frac{e^{\sin (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2})} \sin (\frac{π}{2})}{\frac{π}{2}}$

Schritt 1.9.1.4

Vereinfache.

\frac{π}{2} cos (\frac{π}{2}) ln (\frac{π}{2}) + \frac{e^{sin (\frac{π}{2}) ln (\frac{π}{2})} sin (\frac{π}{2})}{\frac{π}{2}}

$\frac{π}{2} \cos (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2}) + \frac{e^{\sin (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2})} \sin (\frac{π}{2})}{\frac{π}{2}}$

Schritt 1.9.1.5

Der genau Wert von

cos (\frac{π}{2})

$\cos (\frac{π}{2})$ ist

0

$0$ .

\frac{π}{2} \cdot 0 ln (\frac{π}{2}) + \frac{e^{sin (\frac{π}{2}) ln (\frac{π}{2})} sin (\frac{π}{2})}{\frac{π}{2}}

$\frac{π}{2} \cdot 0 \ln (\frac{π}{2}) + \frac{e^{\sin (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2})} \sin (\frac{π}{2})}{\frac{π}{2}}$

Schritt 1.9.1.6

Mutltipliziere

\frac{π}{2}

$\frac{π}{2}$ mit

0

$0$ .

0 ln (\frac{π}{2}) + \frac{e^{sin (\frac{π}{2}) ln (\frac{π}{2})} sin (\frac{π}{2})}{\frac{π}{2}}

$0 \ln (\frac{π}{2}) + \frac{e^{\sin (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2})} \sin (\frac{π}{2})}{\frac{π}{2}}$

Schritt 1.9.1.7

Mutltipliziere

0

$0$ mit

ln (\frac{π}{2})

$\ln (\frac{π}{2})$ .

0 + \frac{e^{sin (\frac{π}{2}) ln (\frac{π}{2})} sin (\frac{π}{2})}{\frac{π}{2}}

$0 + \frac{e^{\sin (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2})} \sin (\frac{π}{2})}{\frac{π}{2}}$

Schritt 1.9.1.8

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

0 + e^{sin (\frac{π}{2}) ln (\frac{π}{2})} sin (\frac{π}{2}) \frac{2}{π}

$0 + e^{\sin (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2})} \sin (\frac{π}{2}) \frac{2}{π}$

Schritt 1.9.1.9

Der genau Wert von

sin (\frac{π}{2})

$\sin (\frac{π}{2})$ ist

1

$1$ .

0 + e^{1 ln (\frac{π}{2})} sin (\frac{π}{2}) \frac{2}{π}

$0 + e^{1 \ln (\frac{π}{2})} \sin (\frac{π}{2}) \frac{2}{π}$

Schritt 1.9.1.10

Vereinfache

1 ln (\frac{π}{2})

$1 \ln (\frac{π}{2})$ , indem du

1

$1$ in den Logarithmus ziehst.

0 + e^{ln ({(\frac{π}{2})}^{1})} sin (\frac{π}{2}) \frac{2}{π}

$0 + e^{\ln ({(\frac{π}{2})}^{1})} \sin (\frac{π}{2}) \frac{2}{π}$

Schritt 1.9.1.11

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

0 + {(\frac{π}{2})}^{1} sin (\frac{π}{2}) \frac{2}{π}

$0 + {(\frac{π}{2})}^{1} \sin (\frac{π}{2}) \frac{2}{π}$

Schritt 1.9.1.12

Vereinfache.

0 + \frac{π}{2} sin (\frac{π}{2}) \frac{2}{π}

$0 + \frac{π}{2} \sin (\frac{π}{2}) \frac{2}{π}$

Schritt 1.9.1.13

Der genau Wert von

sin (\frac{π}{2})

$\sin (\frac{π}{2})$ ist

1

$1$ .

0 + \frac{π}{2} \cdot 1 \frac{2}{π}

$0 + \frac{π}{2} \cdot 1 \frac{2}{π}$

Schritt 1.9.1.14

Mutltipliziere

\frac{π}{2}

$\frac{π}{2}$ mit

1

$1$ .

0 + \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{π}

$0 + \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{π}$

Schritt 1.9.1.15

Kürze den gemeinsamen Faktor von

π

$π$ .

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Schritt 1.9.1.15.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$0 + \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{π}$

Schritt 1.9.1.15.2

Forme den Ausdruck um.

$0 + \frac{1}{2} \cdot 2$

Schritt 1.9.1.16

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$2$ .

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Schritt 1.9.1.16.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$0 + \frac{1}{2} \cdot 2$

Schritt 1.9.1.16.2

Forme den Ausdruck um.

$0 + 1$

Schritt 1.9.2

Addiere

$0$ und

$1$ .

$1$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für

$y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung

$1$ und einen gegebenen Punkt

$(\frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ , um

$x_{1}$ und

$y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form

$y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung

$m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (\frac{π}{2}) = 1 \cdot (x - (\frac{π}{2}))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - \frac{π}{2} = 1 \cdot (x - \frac{π}{2})$

Schritt 2.3

Löse nach

$y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Mutltipliziere

$x - \frac{π}{2}$ mit

$1$ .

$y - \frac{π}{2} = x - \frac{π}{2}$

Schritt 2.3.2

Bringe alle Terme, die nicht

$y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.2.1

Addiere

$\frac{π}{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = x - \frac{π}{2} + \frac{π}{2}$

Schritt 2.3.2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in

$x - \frac{π}{2} + \frac{π}{2}$ .

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Schritt 2.3.2.2.1

Addiere

$- \frac{π}{2}$ und

$\frac{π}{2}$ .

$y = x + 0$

Schritt 2.3.2.2.2

Addiere

$x$ und

$0$ .

$y = x$

Schritt 3