Analysis Beispiele

$f (x) = x^{4} {(3 - x)}^{3}$ ; $x = 1$

Schritt 1

Bestimme den entsprechenden $y$ -Wert zu $x = 1$ .

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Schritt 1.1

Setze $1$ für $x$ ein.

$y = {(1)}^{4} {(3 - (1))}^{3}$

Schritt 1.2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 1.2.1

Entferne die Klammern.

$y = 1^{4} {(3 - (1))}^{3}$

Schritt 1.2.2

Entferne die Klammern.

$y = {(1)}^{4} {(3 - (1))}^{3}$

Schritt 1.2.3

Vereinfache ${(1)}^{4} {(3 - (1))}^{3}$ .

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Schritt 1.2.3.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$y = 1 {(3 - (1))}^{3}$

Schritt 1.2.3.2

Mutltipliziere ${(3 - (1))}^{3}$ mit $1$ .

$y = {(3 - (1))}^{3}$

Schritt 1.2.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$y = {(3 - 1)}^{3}$

Schritt 1.2.3.4

Subtrahiere $1$ von $3$ .

$y = 2^{3}$

Schritt 1.2.3.5

Potenziere $2$ mit $3$ .

$y = 8$

Schritt 2

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 1$ und $y = 8$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{4}$ und $g (x) = {(3 - x)}^{3}$ .

$x^{4} \frac{d}{d x} [{(3 - x)}^{3}] + {(3 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = 3 - x$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 - x$ .

$x^{4} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [3 - x]) + {(3 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$x^{4} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [3 - x]) + {(3 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $3 - x$ .

$x^{4} (3 {(3 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [3 - x]) + {(3 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 2.3

Differenziere.

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Schritt 2.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$x^{4} (3 {(3 - x)}^{2} (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x])) + {(3 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 2.3.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$x^{4} (3 {(3 - x)}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x])) + {(3 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 2.3.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$x^{4} (3 {(3 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [- x]) + {(3 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 2.3.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{4} (3 {(3 - x)}^{2} (- \frac{d}{d x} [x])) + {(3 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 2.3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$x^{4} (- 3 {(3 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]) + {(3 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 2.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x^{4} (- 3 {(3 - x)}^{2} \cdot 1) + {(3 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 2.3.7

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$x^{4} (- 3 {(3 - x)}^{2}) + {(3 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 2.3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$x^{4} (- 3 {(3 - x)}^{2}) + {(3 - x)}^{3} (4 x^{3})$

Schritt 2.3.9

Bringe $4$ auf die linke Seite von ${(3 - x)}^{3}$ .

$x^{4} (- 3 {(3 - x)}^{2}) + 4 \cdot {(3 - x)}^{3} x^{3}$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Faktorisiere $x^{3} {(3 - x)}^{2}$ aus $x^{4} (- 3 {(3 - x)}^{2}) + 4 {(3 - x)}^{3} x^{3}$ heraus.

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Schritt 2.4.1.1

Faktorisiere $x^{3} {(3 - x)}^{2}$ aus $x^{4} (- 3 {(3 - x)}^{2})$ heraus.

$x^{3} {(3 - x)}^{2} (x \cdot (- 3)) + 4 {(3 - x)}^{3} x^{3}$

Schritt 2.4.1.2

Faktorisiere $x^{3} {(3 - x)}^{2}$ aus $4 {(3 - x)}^{3} x^{3}$ heraus.

$x^{3} {(3 - x)}^{2} (x \cdot (- 3)) + x^{3} {(3 - x)}^{2} (4 (3 - x))$

Schritt 2.4.1.3

Faktorisiere $x^{3} {(3 - x)}^{2}$ aus $x^{3} {(3 - x)}^{2} (x \cdot (- 3)) + x^{3} {(3 - x)}^{2} (4 (3 - x))$ heraus.

$x^{3} {(3 - x)}^{2} (x \cdot (- 3) + 4 (3 - x))$

Schritt 2.4.2

Bringe $- 3$ auf die linke Seite von $x$ .

$x^{3} {(3 - x)}^{2} (- 3 x + 4 (3 - x))$

Schritt 2.4.3

Schreibe ${(3 - x)}^{2}$ als $(3 - x) (3 - x)$ um.

$x^{3} ((3 - x) (3 - x)) (- 3 x + 4 (3 - x))$

Schritt 2.4.4

Multipliziere $(3 - x) (3 - x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.4.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{3} (3 (3 - x) - x (3 - x)) (- 3 x + 4 (3 - x))$

Schritt 2.4.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{3} (3 \cdot 3 + 3 (- x) - x (3 - x)) (- 3 x + 4 (3 - x))$

Schritt 2.4.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{3} (3 \cdot 3 + 3 (- x) - x \cdot 3 - x (- x)) (- 3 x + 4 (3 - x))$

Schritt 2.4.5

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.4.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.5.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$x^{3} (9 + 3 (- x) - x \cdot 3 - x (- x)) (- 3 x + 4 (3 - x))$

Schritt 2.4.5.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$x^{3} (9 - 3 x - x \cdot 3 - x (- x)) (- 3 x + 4 (3 - x))$

Schritt 2.4.5.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$x^{3} (9 - 3 x - 3 x - x (- x)) (- 3 x + 4 (3 - x))$

Schritt 2.4.5.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x^{3} (9 - 3 x - 3 x - 1 \cdot - 1 x \cdot x) (- 3 x + 4 (3 - x))$

Schritt 2.4.5.1.5

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.4.5.1.5.1

Bewege $x$ .

$x^{3} (9 - 3 x - 3 x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x)) (- 3 x + 4 (3 - x))$

Schritt 2.4.5.1.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{3} (9 - 3 x - 3 x - 1 \cdot - 1 x^{2}) (- 3 x + 4 (3 - x))$

Schritt 2.4.5.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x^{3} (9 - 3 x - 3 x + 1 x^{2}) (- 3 x + 4 (3 - x))$

Schritt 2.4.5.1.7

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$x^{3} (9 - 3 x - 3 x + x^{2}) (- 3 x + 4 (3 - x))$

Schritt 2.4.5.2

Subtrahiere $3 x$ von $- 3 x$ .

$x^{3} (9 - 6 x + x^{2}) (- 3 x + 4 (3 - x))$

Schritt 2.4.6

Wende das Distributivgesetz an.

$(x^{3} \cdot 9 + x^{3} (- 6 x) + x^{3} x^{2}) (- 3 x + 4 (3 - x))$

Schritt 2.4.7

Vereinfache.

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Schritt 2.4.7.1

Bringe $9$ auf die linke Seite von $x^{3}$ .

$(9 \cdot x^{3} + x^{3} (- 6 x) + x^{3} x^{2}) (- 3 x + 4 (3 - x))$

Schritt 2.4.7.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$(9 \cdot x^{3} - 6 x^{3} x + x^{3} x^{2}) (- 3 x + 4 (3 - x))$

Schritt 2.4.7.3

Multipliziere $x^{3}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.4.7.3.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(9 \cdot x^{3} - 6 x^{3} x + x^{3 + 2}) (- 3 x + 4 (3 - x))$

Schritt 2.4.7.3.2

Addiere $3$ und $2$ .

$(9 \cdot x^{3} - 6 x^{3} x + x^{5}) (- 3 x + 4 (3 - x))$

Schritt 2.4.8

Multipliziere $x^{3}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.4.8.1

Bewege $x$ .

$(9 x^{3} - 6 (x \cdot x^{3}) + x^{5}) (- 3 x + 4 (3 - x))$

Schritt 2.4.8.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{3}$ .

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Schritt 2.4.8.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$(9 x^{3} - 6 (x^{1} x^{3}) + x^{5}) (- 3 x + 4 (3 - x))$

Schritt 2.4.8.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(9 x^{3} - 6 x^{1 + 3} + x^{5}) (- 3 x + 4 (3 - x))$

Schritt 2.4.8.3

Addiere $1$ und $3$ .

$(9 x^{3} - 6 x^{4} + x^{5}) (- 3 x + 4 (3 - x))$

Schritt 2.4.9

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.9.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(9 x^{3} - 6 x^{4} + x^{5}) (- 3 x + 4 \cdot 3 + 4 (- x))$

Schritt 2.4.9.2

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$(9 x^{3} - 6 x^{4} + x^{5}) (- 3 x + 12 + 4 (- x))$

Schritt 2.4.9.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$(9 x^{3} - 6 x^{4} + x^{5}) (- 3 x + 12 - 4 x)$

Schritt 2.4.10

Subtrahiere $4 x$ von $- 3 x$ .

$(9 x^{3} - 6 x^{4} + x^{5}) (- 7 x + 12)$

Schritt 2.4.11

Multipliziere $(9 x^{3} - 6 x^{4} + x^{5}) (- 7 x + 12)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$9 x^{3} (- 7 x) + 9 x^{3} \cdot 12 - 6 x^{4} (- 7 x) - 6 x^{4} \cdot 12 + x^{5} (- 7 x) + x^{5} \cdot 12$

Schritt 2.4.12

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.12.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$9 \cdot - 7 x^{3} x + 9 x^{3} \cdot 12 - 6 x^{4} (- 7 x) - 6 x^{4} \cdot 12 + x^{5} (- 7 x) + x^{5} \cdot 12$

Schritt 2.4.12.2

Multipliziere $x^{3}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.4.12.2.1

Bewege $x$ .

$9 \cdot - 7 (x \cdot x^{3}) + 9 x^{3} \cdot 12 - 6 x^{4} (- 7 x) - 6 x^{4} \cdot 12 + x^{5} (- 7 x) + x^{5} \cdot 12$

Schritt 2.4.12.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{3}$ .

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Schritt 2.4.12.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$9 \cdot - 7 (x^{1} x^{3}) + 9 x^{3} \cdot 12 - 6 x^{4} (- 7 x) - 6 x^{4} \cdot 12 + x^{5} (- 7 x) + x^{5} \cdot 12$

Schritt 2.4.12.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$9 \cdot - 7 x^{1 + 3} + 9 x^{3} \cdot 12 - 6 x^{4} (- 7 x) - 6 x^{4} \cdot 12 + x^{5} (- 7 x) + x^{5} \cdot 12$

Schritt 2.4.12.2.3

Addiere $1$ und $3$ .

$9 \cdot - 7 x^{4} + 9 x^{3} \cdot 12 - 6 x^{4} (- 7 x) - 6 x^{4} \cdot 12 + x^{5} (- 7 x) + x^{5} \cdot 12$

Schritt 2.4.12.3

Mutltipliziere $9$ mit $- 7$ .

$- 63 x^{4} + 9 x^{3} \cdot 12 - 6 x^{4} (- 7 x) - 6 x^{4} \cdot 12 + x^{5} (- 7 x) + x^{5} \cdot 12$

Schritt 2.4.12.4

Mutltipliziere $12$ mit $9$ .

$- 63 x^{4} + 108 x^{3} - 6 x^{4} (- 7 x) - 6 x^{4} \cdot 12 + x^{5} (- 7 x) + x^{5} \cdot 12$

Schritt 2.4.12.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- 63 x^{4} + 108 x^{3} - 6 \cdot - 7 x^{4} x - 6 x^{4} \cdot 12 + x^{5} (- 7 x) + x^{5} \cdot 12$

Schritt 2.4.12.6

Multipliziere $x^{4}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.4.12.6.1

Bewege $x$ .

$- 63 x^{4} + 108 x^{3} - 6 \cdot - 7 (x \cdot x^{4}) - 6 x^{4} \cdot 12 + x^{5} (- 7 x) + x^{5} \cdot 12$

Schritt 2.4.12.6.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{4}$ .

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Schritt 2.4.12.6.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- 63 x^{4} + 108 x^{3} - 6 \cdot - 7 (x^{1} x^{4}) - 6 x^{4} \cdot 12 + x^{5} (- 7 x) + x^{5} \cdot 12$

Schritt 2.4.12.6.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 63 x^{4} + 108 x^{3} - 6 \cdot - 7 x^{1 + 4} - 6 x^{4} \cdot 12 + x^{5} (- 7 x) + x^{5} \cdot 12$

Schritt 2.4.12.6.3

Addiere $1$ und $4$ .

$- 63 x^{4} + 108 x^{3} - 6 \cdot - 7 x^{5} - 6 x^{4} \cdot 12 + x^{5} (- 7 x) + x^{5} \cdot 12$

Schritt 2.4.12.7

Mutltipliziere $- 6$ mit $- 7$ .

$- 63 x^{4} + 108 x^{3} + 42 x^{5} - 6 x^{4} \cdot 12 + x^{5} (- 7 x) + x^{5} \cdot 12$

Schritt 2.4.12.8

Mutltipliziere $12$ mit $- 6$ .

$- 63 x^{4} + 108 x^{3} + 42 x^{5} - 72 x^{4} + x^{5} (- 7 x) + x^{5} \cdot 12$

Schritt 2.4.12.9

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- 63 x^{4} + 108 x^{3} + 42 x^{5} - 72 x^{4} - 7 x^{5} x + x^{5} \cdot 12$

Schritt 2.4.12.10

Multipliziere $x^{5}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.4.12.10.1

Bewege $x$ .

$- 63 x^{4} + 108 x^{3} + 42 x^{5} - 72 x^{4} - 7 (x \cdot x^{5}) + x^{5} \cdot 12$

Schritt 2.4.12.10.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{5}$ .

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Schritt 2.4.12.10.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- 63 x^{4} + 108 x^{3} + 42 x^{5} - 72 x^{4} - 7 (x^{1} x^{5}) + x^{5} \cdot 12$

Schritt 2.4.12.10.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 63 x^{4} + 108 x^{3} + 42 x^{5} - 72 x^{4} - 7 x^{1 + 5} + x^{5} \cdot 12$

Schritt 2.4.12.10.3

Addiere $1$ und $5$ .

$- 63 x^{4} + 108 x^{3} + 42 x^{5} - 72 x^{4} - 7 x^{6} + x^{5} \cdot 12$

Schritt 2.4.12.11

Bringe $12$ auf die linke Seite von $x^{5}$ .

$- 63 x^{4} + 108 x^{3} + 42 x^{5} - 72 x^{4} - 7 x^{6} + 12 x^{5}$

Schritt 2.4.13

Subtrahiere $72 x^{4}$ von $- 63 x^{4}$ .

$- 135 x^{4} + 108 x^{3} + 42 x^{5} - 7 x^{6} + 12 x^{5}$

Schritt 2.4.14

Addiere $42 x^{5}$ und $12 x^{5}$ .

$- 135 x^{4} + 108 x^{3} - 7 x^{6} + 54 x^{5}$

Schritt 2.5

Bestimme die Ableitung bei $x = 1$ .

$- 135 {(1)}^{4} + 108 {(1)}^{3} - 7 {(1)}^{6} + 54 {(1)}^{5}$

Schritt 2.6

Vereinfache.

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Schritt 2.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.6.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- 135 \cdot 1 + 108 {(1)}^{3} - 7 {(1)}^{6} + 54 {(1)}^{5}$

Schritt 2.6.1.2

Mutltipliziere $- 135$ mit $1$ .

$- 135 + 108 {(1)}^{3} - 7 {(1)}^{6} + 54 {(1)}^{5}$

Schritt 2.6.1.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- 135 + 108 \cdot 1 - 7 {(1)}^{6} + 54 {(1)}^{5}$

Schritt 2.6.1.4

Mutltipliziere $108$ mit $1$ .

$- 135 + 108 - 7 {(1)}^{6} + 54 {(1)}^{5}$

Schritt 2.6.1.5

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- 135 + 108 - 7 \cdot 1 + 54 {(1)}^{5}$

Schritt 2.6.1.6

Mutltipliziere $- 7$ mit $1$ .

$- 135 + 108 - 7 + 54 {(1)}^{5}$

Schritt 2.6.1.7

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- 135 + 108 - 7 + 54 \cdot 1$

Schritt 2.6.1.8

Mutltipliziere $54$ mit $1$ .

$- 135 + 108 - 7 + 54$

Schritt 2.6.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 2.6.2.1

Addiere $- 135$ und $108$ .

$- 27 - 7 + 54$

Schritt 2.6.2.2

Subtrahiere $7$ von $- 27$ .

$- 34 + 54$

Schritt 2.6.2.3

Addiere $- 34$ und $54$ .

$20$

Schritt 3

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 3.1

Benutze die Steigung $20$ und einen gegebenen Punkt $(1, 8)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (8) = 20 \cdot (x - (1))$

Schritt 3.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - 8 = 20 \cdot (x - 1)$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache $20 \cdot (x - 1)$ .

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Schritt 3.3.1.1

Forme um.

$y - 8 = 0 + 0 + 20 \cdot (x - 1)$

Schritt 3.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y - 8 = 20 \cdot (x - 1)$

Schritt 3.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 8 = 20 x + 20 \cdot - 1$

Schritt 3.3.1.4

Mutltipliziere $20$ mit $- 1$ .

$y - 8 = 20 x - 20$

Schritt 3.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.2.1

Addiere $8$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = 20 x - 20 + 8$

Schritt 3.3.2.2

Addiere $- 20$ und $8$ .

$y = 20 x - 12$

Schritt 4