Analysis Beispiele

$y^{2} e^{2 x} - 4 y - x^{2} = 0$ , $(0, 4)$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 0$ und $y = 4$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y^{2} e^{2 x} - 4 y - x^{2}) = \frac{d}{d x} (0)$

Schritt 1.2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y^{2} e^{2 x} - 4 y - x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [y^{2} e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2} e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 1.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [y^{2} e^{2 x}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = y^{2}$ und $g (x) = e^{2 x}$ .

$y^{2} \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + e^{2 x} \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 2 x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $2 x$ .

$y^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 1.2.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$y^{2} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 1.2.2.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $2 x$ .

$y^{2} (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 1.2.2.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y^{2} (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 1.2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$y^{2} (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 1.2.2.5

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.2.5.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $y$ .

$y^{2} (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + e^{2 x} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 1.2.2.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$y^{2} (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + e^{2 x} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 1.2.2.5.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $y$ .

$y^{2} (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + e^{2 x} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 1.2.2.6

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$y^{2} (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + e^{2 x} (2 y y') + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 1.2.2.7

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y^{2} (e^{2 x} \cdot 2) + e^{2 x} (2 y y') + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 1.2.2.8

Bringe $2$ auf die linke Seite von $e^{2 x}$ .

$y^{2} (2 \cdot e^{2 x}) + e^{2 x} (2 y y') + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 1.2.2.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y^{2}$ .

$2 \cdot y^{2} e^{2 x} + e^{2 x} (2 y y') + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 1.2.2.10

Bringe $2$ auf die linke Seite von $e^{2 x}$ .

$2 y^{2} e^{2 x} + 2 e^{2 x} y y' + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 1.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 4 y]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 y$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [y]$ .

$2 y^{2} e^{2 x} + 2 e^{2 x} y y' - 4 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 1.2.3.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$2 y^{2} e^{2 x} + 2 e^{2 x} y y' - 4 y' + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 1.2.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 y^{2} e^{2 x} + 2 e^{2 x} y y' - 4 y' - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 y^{2} e^{2 x} + 2 e^{2 x} y y' - 4 y' - (2 x)$

Schritt 1.2.4.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$2 y^{2} e^{2 x} + 2 e^{2 x} y y' - 4 y' - 2 x$

Schritt 1.2.5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.1

Stelle die Terme um.

$2 e^{2 x} y^{2} + 2 e^{2 x} y y' - 2 x - 4 y'$

Schritt 1.2.5.2

Stelle die Faktoren in $2 e^{2 x} y^{2} + 2 e^{2 x} y y' - 2 x - 4 y'$ um.

$2 y^{2} e^{2 x} + 2 y e^{2 x} y' - 2 x - 4 y'$

Schritt 1.3

Da $0$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $0$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 1.4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$2 y^{2} e^{2 x} + 2 y e^{2 x} y' - 2 x - 4 y' = 0$

Schritt 1.5

Löse nach $y'$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.1

Stelle die Faktoren in $2 y^{2} e^{2 x} + 2 y e^{2 x} y' - 2 x - 4 y'$ um.

$2 y^{2} e^{2 x} + 2 y y' e^{2 x} - 2 x - 4 y' = 0$

Schritt 1.5.2

Bringe alle Terme, die nicht $y'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.2.1

Subtrahiere $2 y^{2} e^{2 x}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 y y' e^{2 x} - 2 x - 4 y' = - 2 y^{2} e^{2 x}$

Schritt 1.5.2.2

Addiere $2 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 y y' e^{2 x} - 4 y' = - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 x$

Schritt 1.5.3

Faktorisiere $2 y'$ aus $2 y y' e^{2 x} - 4 y'$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.3.1

Faktorisiere $2 y'$ aus $2 y y' e^{2 x}$ heraus.

$2 y' (y e^{2 x}) - 4 y' = - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 x$

Schritt 1.5.3.2

Faktorisiere $2 y'$ aus $- 4 y'$ heraus.

$2 y' (y e^{2 x}) + 2 y' \cdot - 2 = - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 x$

Schritt 1.5.3.3

Faktorisiere $2 y'$ aus $2 y' (y e^{2 x}) + 2 y' \cdot - 2$ heraus.

$2 y' (y e^{2 x} - 2) = - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 x$

Schritt 1.5.4

Teile jeden Ausdruck in $2 y' (y e^{2 x} - 2) = - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 x$ durch $2 (y e^{2 x} - 2)$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y' (y e^{2 x} - 2) = - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 x$ durch $2 (y e^{2 x} - 2)$ .

$\frac{2 y' (y e^{2 x} - 2)}{2 (y e^{2 x} - 2)} = \frac{- 2 y^{2} e^{2 x}}{2 (y e^{2 x} - 2)} + \frac{2 x}{2 (y e^{2 x} - 2)}$

Schritt 1.5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y' (y e^{2 x} - 2)}{2 (y e^{2 x} - 2)} = \frac{- 2 y^{2} e^{2 x}}{2 (y e^{2 x} - 2)} + \frac{2 x}{2 (y e^{2 x} - 2)}$

Schritt 1.5.4.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' (y e^{2 x} - 2)}{y e^{2 x} - 2} = \frac{- 2 y^{2} e^{2 x}}{2 (y e^{2 x} - 2)} + \frac{2 x}{2 (y e^{2 x} - 2)}$

Schritt 1.5.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y e^{2 x} - 2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (y e^{2 x} - 2)}{y e^{2 x} - 2} = \frac{- 2 y^{2} e^{2 x}}{2 (y e^{2 x} - 2)} + \frac{2 x}{2 (y e^{2 x} - 2)}$

Schritt 1.5.4.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 2 y^{2} e^{2 x}}{2 (y e^{2 x} - 2)} + \frac{2 x}{2 (y e^{2 x} - 2)}$

Schritt 1.5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.4.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.4.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.4.3.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 y^{2} e^{2 x}$ heraus.

$y' = \frac{2 (- y^{2} e^{2 x})}{2 (y e^{2 x} - 2)} + \frac{2 x}{2 (y e^{2 x} - 2)}$

Schritt 1.5.4.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.4.3.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{2 (- y^{2} e^{2 x})}{2 (y e^{2 x} - 2)} + \frac{2 x}{2 (y e^{2 x} - 2)}$

Schritt 1.5.4.3.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{- y^{2} e^{2 x}}{y e^{2 x} - 2} + \frac{2 x}{2 (y e^{2 x} - 2)}$

Schritt 1.5.4.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{y^{2} e^{2 x}}{y e^{2 x} - 2} + \frac{2 x}{2 (y e^{2 x} - 2)}$

Schritt 1.5.4.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.4.3.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = - \frac{y^{2} e^{2 x}}{y e^{2 x} - 2} + \frac{2 x}{2 (y e^{2 x} - 2)}$

Schritt 1.5.4.3.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = - \frac{y^{2} e^{2 x}}{y e^{2 x} - 2} + \frac{x}{y e^{2 x} - 2}$

Schritt 1.5.4.3.2

Vereinfache Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.4.3.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{- y^{2} e^{2 x} + x}{y e^{2 x} - 2}$

Schritt 1.5.4.3.2.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- y^{2} e^{2 x}$ heraus.

$y' = \frac{- (y^{2} e^{2 x}) + x}{y e^{2 x} - 2}$

Schritt 1.5.4.3.2.3

Faktorisiere $- 1$ aus $x$ heraus.

$y' = \frac{- (y^{2} e^{2 x}) - 1 (- x)}{y e^{2 x} - 2}$

Schritt 1.5.4.3.2.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (y^{2} e^{2 x}) - 1 (- x)$ heraus.

$y' = \frac{- (y^{2} e^{2 x} - x)}{y e^{2 x} - 2}$

Schritt 1.5.4.3.2.5

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.4.3.2.5.1

Schreibe $- (y^{2} e^{2 x} - x)$ als $- 1 (y^{2} e^{2 x} - x)$ um.

$y' = \frac{- 1 (y^{2} e^{2 x} - x)}{y e^{2 x} - 2}$

Schritt 1.5.4.3.2.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{y^{2} e^{2 x} - x}{y e^{2 x} - 2}$

Schritt 1.6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2} e^{2 x} - x}{y e^{2 x} - 2}$

Schritt 1.7

Berechne bei $x = 0$ und $y = 4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$- \frac{y^{2} e^{2 (0)} - (0)}{y e^{2 (0)} - 2}$

Schritt 1.7.2

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $y$ durch $4$ .

$- \frac{{(4)}^{2} e^{2 (0)} - (0)}{(4) \cdot e^{2 (0)} - 2}$

Schritt 1.7.3

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.7.3.1

Schreibe $4^{2} e^{2 (0)}$ als ${(4 e^{0})}^{2}$ um.

$- \frac{{(4 e^{0})}^{2} - (0)}{4 \cdot e^{2 (0)} - 2}$

Schritt 1.7.3.2

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$- \frac{{(4 e^{0})}^{2} - 0^{2}}{4 \cdot e^{2 (0)} - 2}$

Schritt 1.7.3.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 4 e^{0}$ und $b = 0$ .

$- \frac{(4 e^{0} + 0) (4 e^{0} + 0)}{4 \cdot e^{2 (0)} - 2}$

Schritt 1.7.3.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.7.3.4.1

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$- \frac{(4 \cdot 1 + 0) (4 e^{0} + 0)}{4 \cdot e^{2 (0)} - 2}$

Schritt 1.7.3.4.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$- \frac{(4 + 0) (4 e^{0} + 0)}{4 \cdot e^{2 (0)} - 2}$

Schritt 1.7.3.4.3

Addiere $4$ und $0$ .

$- \frac{4 (4 e^{0} + 0)}{4 \cdot e^{2 (0)} - 2}$

Schritt 1.7.3.4.4

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$- \frac{4 (4 \cdot 1 + 0)}{4 \cdot e^{2 (0)} - 2}$

Schritt 1.7.3.4.5

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$- \frac{4 (4 + 0)}{4 \cdot e^{2 (0)} - 2}$

Schritt 1.7.3.4.6

Addiere $4$ und $0$ .

$- \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot e^{2 (0)} - 2}$

Schritt 1.7.4

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.7.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$- \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot e^{0} - 2}$

Schritt 1.7.4.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$- \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1 - 2}$

Schritt 1.7.4.3

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$- \frac{4 \cdot 4}{4 - 2}$

Schritt 1.7.4.4

Subtrahiere $2$ von $4$ .

$- \frac{4 \cdot 4}{2}$

Schritt 1.7.5

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.7.5.1

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$- \frac{16}{2}$

Schritt 1.7.5.2

Dividiere $16$ durch $2$ .

$- 1 \cdot 8$

Schritt 1.7.5.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$- 8$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Benutze die Steigung $- 8$ und einen gegebenen Punkt $(0, 4)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (4) = - 8 \cdot (x - (0))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - 4 = - 8 \cdot (x + 0)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Addiere $x$ und $0$ .

$y - 4 = - 8 x$

Schritt 2.3.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = - 8 x + 4$

Schritt 3